Vinifique se é conservativo
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a pergunta está pedindo. A gente tem um campo vetorial
e precisa verificar se ele é conservativo.
Conteúdo da matéria: Campos vetoriais e conservatividade.
O que precisamos: Saber o que é um campo conservativo e como verificar isso usando derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa um campo vetorial ser conservativo. Um campo
é conservativo se existe uma função potencial
tal que:
Isso quer dizer que as componentes de
são derivadas parciais da mesma função
.
Passo 3
Uma forma prática de verificar se o campo é conservativo é checar a igualdade das derivadas cruzadas:
Se essa igualdade for verdadeira, o campo é conservativo (em um domínio simplesmente conexo).
Passo 4
Vamos identificar
e
no nosso campo:
Agora, calculamos as derivadas parciais:
Passo 5
Comparamos as derivadas:
Como
, as derivadas não são iguais.
Passo 6
Como a condição
não é satisfeita, podemos concluir que o campo
não é conservativo.
Resposta
O campo vetorial
não é conservativo.