Vinifique se é conservativo
F(x, y)=-y imath+x jmath

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a pergunta está pedindo. A gente tem um campo vetorial e precisa verificar se ele é conservativo.
Conteúdo da matéria: Campos vetoriais e conservatividade.
O que precisamos: Saber o que é um campo conservativo e como verificar isso usando derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa um campo vetorial ser conservativo. Um campo F = nabla phi = ( partial phipartial x ) imath + ( partial phipartial y ) jmath é conservativo se existe uma função potencial tal que:
Isso quer dizer que as componentes de são derivadas parciais da mesma função .

Passo 3

Uma forma prática de verificar se o campo é conservativo é checar a igualdade das derivadas cruzadas:
partial Ppartial y = partial Qpartial x
Se essa igualdade for verdadeira, o campo é conservativo (em um domínio simplesmente conexo).

Passo 4

Vamos identificar P = -y e Q = x e partial Ppartial y = partial (-y)partial y = -1 no nosso campo:
partial Qpartial x = partial xpartial x = 1
Agora, calculamos as derivadas parciais:

Passo 5

Comparamos as derivadas:
partial Ppartial y = -1 e partial Qpartial x = 1
Como , as derivadas não são iguais.

Passo 6

Como a condição não é satisfeita, podemos concluir que o campo não é conservativo.

Resposta

O campo vetorial não é conservativo.

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