Determine a região de
onde a função
dada é diferenciável:
.
Passo 1
O enunciado define a função
dada por
e pede a região de diferenciabilidade. O conteúdo envolve domínio de funções de duas variáveis e a regra da cadeia para composições.
Passo 2
Para existir
bem-definido, precisamos ter
. Isso significa que ou
e
(1º quadrante) ou
e
(3º quadrante).
Passo 3
Dentro dessa região
, o produto
é diferenciável em
, e a função
é diferenciável para
. Pela regra da cadeia, a composição
é diferenciável em todo ponto onde
.
Resposta
A função
é diferenciável em {(x,y)\in\mathbb{R}^2:;xy>0}, ou seja, no 1º e no 3º quadrantes.