Determine a região de R^2 onde a função f dada é diferenciável:
f(x, y)=ln (x y).

Passo 1

O enunciado define a função f:R^2toR dada por f(x,y)=ln(xy) e pede a região de diferenciabilidade. O conteúdo envolve domínio de funções de duas variáveis e a regra da cadeia para composições.

Passo 2

Para existir ln(xy) bem-definido, precisamos ter xy>0. Isso significa que ou x>0 e y>0 (1º quadrante) ou x<0 e y<0 (3º quadrante).

Passo 3

Dentro dessa região xy>0, o produto g(x,y)=xy é diferenciável em R^2, e a função ln(u) é diferenciável para u>0. Pela regra da cadeia, a composição f=lncirc g é diferenciável em todo ponto onde g(x,y)>0.

Resposta

A função f(x,y)=ln(xy) é diferenciável em {(x,y)\in\mathbb{R}^2:;xy>0}, ou seja, no 1º e no 3º quadrantes.

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