Podemos afirmar que a função f dada por
f(x, y)=rrr (x-2024) y(x-2024)^2+y^2, & se & (x, y) neq(2024,0) 2024, & se & (x, y)=(2024,0)
é contínua em (2024,0) ? Justifique sua resposta.

Passo 1

Nesse exercício temos a função de duas variáveis f definida por partes e queremos saber se é contínua em (2024,0). O conteúdo aqui é limite de função de várias variáveis e continuidade: precisamos verificar se lim(x,y)to(2024,0)f(x,y) existe e, em caso afirmativo, se coincide com f(2024,0)=2024.

Passo 2

Para simplificar a expressão perto de (2024,0), fazemos a mudança de variáveis u=x-2024 e v=y. Então, para (x,y)neq(2024,0) a função vira
f(x,y)=(x-2024)y(x-2024)^2+y^2=uvu^2+v^2

Passo 3

Uma técnica clássica é aproximar pela reta v=k u (ou seja, y=k(x-2024)). Substituindo v=ku na expressão temos
ucdot (k u)u^2+(k u)^2=k u^2u^2(1+k^2)=k1+k^2, que claramente depende do parâmetro k. Como podemos obter valores diferentes de k1+k^2 ao mudar k, o limite lim(x,y)to(2024,0)f(x,y) não existe.

Passo 4

Como o limite não existe, ele não pode ser igual a f(2024,0)=2024. Portanto a função não é contínua em (2024,0).

Resposta

A função não é contínua em (2024,0), pois o limite lim(x,y)to(2024,0)f(x,y) não existe.

Exercícios relacionados