Determine a relação de recorrência para:
y^prime prime+e^x y=0
em torno de x0=0. Calcule os coeficientes até a4.

Passo 1

O enunciado pede uma solução em série de potências para a equação
y'' + e^x,y = 0
em torno de x0=0.
O conteúdo envolve:
  1. Postular y=sumn=0^infty an x^n.
  2. Expandir y'' e e^x,y em séries de potências.
  3. Igualar coeficientes de x^n para achar uma relação de recorrência.
  4. Calcular explicitamente a2, a3 e a4 em função de a0 e a1.

Passo 2

Assumimos
y(x) = sumn=0^infty an x^n
Então
y''(x) = sumn=2^infty n(n-1),an,x^n-2 = sumn=0^infty (n+2)(n+1),an+2,x^n

Passo 3

Também temos
e^x = sumk=0^infty x^kk!,
então
e^x,y = l(sumk=0^infty x^kk!r)l(summ=0^infty am x^mr) = sumn=0^infty l(sumk=0^n a,n-kk!r)x^n

Passo 4

Substituindo em y'' + e^x,y=0 e igualando coeficiente de x^n a zero,
(n+2)(n+1),an+2 + sumk=0^n a,n-kk! = 0
Logo a relação de recorrência é
an+2 = -1(n+2)(n+1)sumk=0^n a,n-kk!

Passo 5

Agora calculamos os primeiros coeficientes não triviais:
Para n=0:
a2 = -12cdot1sumk=0^0a0k! = -a02
Para n=1:
a3 = -13cdot2l(a10! + a01!r) = -a1 + a06
Para n=2:
a4 = -14cdot3l(a20! + a11! + a02!r) = -112l(a2 + a1 + tfraca02r)
Substituindo a2=-tfraca02
a4 = -112l(-tfraca02 + a1 + tfraca02r) = -a112

Resposta

Relação de recorrência:
an+2 = -1(n+2)(n+1)sumk=0^n a,n-kk!
Coeficientes até a4:
a2 = -a02, a3 = -a0 + a16, a4 = -a112

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