Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada. Indique com setas a direção na qual o parâmetro t cresce.
r(t)=(3 \operatorname{sen}(t), 2 \cos (t))
r(t)=(3 \operatorname{sen}(t), 2 \cos (t))
Passo 1
O enunciado pede o esboço da curva paramétrica
e que indiquemos a direção em que aumenta. O conteúdo envolve curvas paramétricas, reconhecimento de elipse e orientação do traçado.
e que indiquemos a direção em que
Passo 2
Escrevemos as componentes separadamente:
e
.
Para descobrir a forma geométrica, eliminamos o parâmetro :
Para descobrir a forma geométrica, eliminamos o parâmetro
Passo 3
Concluímos que a curva é uma elipse centrada na origem, com semi-eixo horizontal de comprimento
e semi-eixo vertical de comprimento
. Os pontos de destaque são:
- :
(topo da elipse)
- :
(direita)
- :
(fundo)
- :
(esquerda)
-
-
-
-
Passo 4
Para verificar a orientação, observamos que em
estamos em
. Se aumentamos
um pouco,
e
, então o ponto se desloca para a direita e para baixo, indo em direção a
. Isso mostra que o traçado ocorre no sentido horário.
Resposta
A curva é a elipse
com semi-eixos
(horizontal) e
(vertical), centrada na origem. Ela começa em
quando
e é percorrida no sentido horário (setas apontando de
para
, depois para
e assim por diante).