Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada. Indique com setas a direção na qual o parâmetro t cresce.
r(t)=(3 \operatorname{sen}(t), 2 \cos (t))

Passo 1

O enunciado pede o esboço da curva paramétrica
r(t) = l(3sin(t),,2cos(t)r)
e que indiquemos a direção em que t aumenta. O conteúdo envolve curvas paramétricas, reconhecimento de elipse e orientação do traçado.

Passo 2

Escrevemos as componentes separadamente:
x = 3sin(t) e y = 2cos(t).
Para descobrir a forma geométrica, eliminamos o parâmetro t:
l(x3r)^2 + l(y2r)^2 = sin^2(t) + cos^2(t) = 1

Passo 3

Concluímos que a curva é uma elipse centrada na origem, com semi-eixo horizontal de comprimento 3 e semi-eixo vertical de comprimento 2. Os pontos de destaque são:
- t=0: r(0) = (0,2) (topo da elipse)
- t=tfracpi2: r(tfracpi2) = (3,0) (direita)
- t=pi: r(pi) = (0,-2) (fundo)
- t=tfrac3pi2: r(tfrac3pi2) = (-3,0) (esquerda)

Passo 4

Para verificar a orientação, observamos que em t=0 estamos em (0,2). Se aumentamos t um pouco, sin(t)>0 e cos(t)<1, então o ponto se desloca para a direita e para baixo, indo em direção a (3,0). Isso mostra que o traçado ocorre no sentido horário.

Resposta

A curva é a elipse
l(tfracx3r)^2 + l(tfracy2r)^2 = 1
com semi-eixos 3 (horizontal) e 2 (vertical), centrada na origem. Ela começa em (0,2) quando t=0 e é percorrida no sentido horário (setas apontando de (0,2) para (3,0), depois para (0,-2) e assim por diante).

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