Exercício 0.1 Estude o sinal das expressões dadas.
.
Passo 1
O enunciado pede: estudar o sinal da expressão
Informações dadas:
- A expressão é uma função racional, numerador
e denominador . - Onde o denominador for zero a expressão não está definida.
- Queremos saber em que intervalos a expressão é positiva, negativa e onde é zero ou indefinida.
Passo 2
Vamos fatorar numerador e denominador — isso facilita muito o estudo do sinal.
- Numerador:
é uma diferença de quadrados. Lembre que a identidade é
aqui com
e
. Logo
- Denominador:
. Para fatorar um quadrático procuramos dois números que multiplicam para e somam para . Procuramos dois números que multiplicam para e somam para : são e . Portanto
Substituindo na expressão original:
Passo 3
Identificamos os pontos críticos (zeros do numerador e zeros do denominador):
- Numerador zero quando
, isto é em e . Nesses pontos a expressão vale (se o denominador não for zero aí). - Denominador zero quando
, isto é em e . Nesses pontos a expressão é indefinida (não pertence ao domínio).
Observação sobre multiplicidade: todas as raízes acima têm multiplicidade
(são simples). Para raízes de multiplicidade ímpar o sinal da função muda ao atravessar o ponto; para multiplicidade par o sinal não muda. Aqui todas são ímpares, então esperamos mudança de sinal em cada ponto crítico.
Ordem dos pontos críticos na reta:
. Assim os intervalos para testar são
Passo 4
Vamos construir a tabela de sinais testando um valor em cada intervalo. Primeiro, anote o sinal de cada fator conforme
:
- Fator
: negativo para , zero em , positivo para . - Fator
: positivo para , zero em , negativo para . - Fator
: negativo para , zero em , positivo para . - Fator
: negativo para , zero em , positivo para .
Agora testamos um ponto em cada intervalo:
- Intervalo
. Teste .
-
(negativo). -
(positivo). -
(negativo). -
(negativo).
Produto numerador = negativo × positivo = negativo.
Produto denominador = negativo × negativo = positivo.
Logo razão = negativo / positivo = negativo.
Então a expressão é negativa em.
- Intervalo
. Teste .
-
(positivo). -
(positivo). -
(negativo). -
(negativo).
Produto numerador = positivo.
Produto denominador = negativo×negativo = positivo.
Razão = positivo/positivo = positivo.
Então a expressão é positiva em.
- Intervalo
. Teste .
-
(positivo). -
(positivo). -
(positivo). -
(negativo).
Produto numerador = positivo.
Produto denominador = positivo×negativo = negativo.
Razão = positivo/negativo = negativo.
Então a expressão é negativa em.
- Intervalo
. Teste .
-
(positivo). -
(positivo). -
(positivo). -
(positivo).
Produto numerador = positivo.
Produto denominador = positivo.
Razão = positivo/positivo = positivo.
Então a expressão é positiva em.
- Intervalo
. Teste .
-
(positivo). -
(negativo). -
(positivo). -
(positivo).
Produto numerador = positivo×negativo = negativo.
Produto denominador = positivo.
Razão = negativo/positivo = negativo.
Então a expressão é negativa em.
Passo 5
Resumindo o comportamento nos pontos especiais:
- Em
e o numerador é zero enquanto o denominador não é zero, então a expressão vale nesses pontos. - Em
e o denominador é zero, a expressão é indefinida (vertical asymptote); são pontos fora do domínio.
Passo 6
Conclusão final do estudo do sinal (juntando tudo): a função muda de sinal em cada ponto crítico (como esperado pelas multiplicidades ímpares). Organização por tipo:
- Negativa em
, e . - Positiva em
e . - Zera em
e . - Indefinida (não pertence ao domínio) em
e .
Resposta
Positiva em
.
Negativa em .
Zera em e
.
Indefinida em e
.
Negativa em
Zera em
Indefinida em