Exercício 0.1 Estude o sinal das expressões dadas.
\frac{9-x^{2}}{x^{2}-3 x+2}.

Passo 1

O enunciado pede: estudar o sinal da expressão
\frac{9-x^{2}}{x^{2}-3x+2}.
Informações dadas:
  • A expressão é uma função racional, numerador \,9-x^{2}\, e denominador \,x^{2}-3x+2.
  • Onde o denominador for zero a expressão não está definida.
  • Queremos saber em que intervalos a expressão é positiva, negativa e onde é zero ou indefinida.

Passo 2

Vamos fatorar numerador e denominador — isso facilita muito o estudo do sinal.
  1. Numerador: \,9-x^{2}\, é uma diferença de quadrados. Lembre que a identidade é
a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b),
aqui com a=3 e b=x. Logo
9-x^{2}=(3-x)(3+x).
  1. Denominador: \,x^{2}-3x+2\,. Para fatorar um quadrático x^{2}+bx+c procuramos dois números que multiplicam para c e somam para b. Procuramos dois números que multiplicam para 2 e somam para -3: são -1 e -2. Portanto
x^{2}-3x+2=(x-1)(x-2).
Substituindo na expressão original:
\frac{9-x^{2}}{x^{2}-3x+2}=\frac{(3-x)(3+x)}{(x-1)(x-2)}.

Passo 3

Identificamos os pontos críticos (zeros do numerador e zeros do denominador):
  • Numerador zero quando (3-x)(3+x)=0, isto é em x=3 e x=-3. Nesses pontos a expressão vale 0 (se o denominador não for zero aí).
  • Denominador zero quando (x-1)(x-2)=0, isto é em x=1 e x=2. Nesses pontos a expressão é indefinida (não pertence ao domínio).
Observação sobre multiplicidade: todas as raízes acima têm multiplicidade 1 (são simples). Para raízes de multiplicidade ímpar o sinal da função muda ao atravessar o ponto; para multiplicidade par o sinal não muda. Aqui todas são ímpares, então esperamos mudança de sinal em cada ponto crítico.
Ordem dos pontos críticos na reta: -3 < 1 < 2 < 3. Assim os intervalos para testar são
(-\infty,-3),\;(-3,1),\;(1,2),\;(2,3),\;(3,\infty).

Passo 4

Vamos construir a tabela de sinais testando um valor em cada intervalo. Primeiro, anote o sinal de cada fator conforme x:
  • Fator (3+x): negativo para x<-3, zero em x=-3, positivo para x>-3.
  • Fator (3-x): positivo para x<3, zero em x=3, negativo para x>3.
  • Fator (x-1): negativo para x<1, zero em x=1, positivo para x>1.
  • Fator (x-2): negativo para x<2, zero em x=2, positivo para x>2.
Agora testamos um ponto em cada intervalo:
  1. Intervalo (-\infty,-3). Teste x=-4.
  • (3+x) = 3+(-4) = -1 (negativo).
  • (3-x) = 3-(-4) = 7 (positivo).
  • (x-1) = -5 (negativo).
  • (x-2) = -6 (negativo).
    Produto numerador = negativo × positivo = negativo.
    Produto denominador = negativo × negativo = positivo.
    Logo razão = negativo / positivo = negativo.
    Então a expressão é negativa em (-\infty,-3).
  1. Intervalo (-3,1). Teste x=0.
  • (3+x)=3 (positivo).
  • (3-x)=3 (positivo).
  • (x-1)=-1 (negativo).
  • (x-2)=-2 (negativo).
    Produto numerador = positivo.
    Produto denominador = negativo×negativo = positivo.
    Razão = positivo/positivo = positivo.
    Então a expressão é positiva em (-3,1).
  1. Intervalo (1,2). Teste x=\tfrac{3}{2}.
  • (3+x)=4{,}5 (positivo).
  • (3-x)=1{,}5 (positivo).
  • (x-1)=0{,}5 (positivo).
  • (x-2)=-0{,}5 (negativo).
    Produto numerador = positivo.
    Produto denominador = positivo×negativo = negativo.
    Razão = positivo/negativo = negativo.
    Então a expressão é negativa em (1,2).
  1. Intervalo (2,3). Teste x=2{,}5.
  • (3+x)=5{,}5 (positivo).
  • (3-x)=0{,}5 (positivo).
  • (x-1)=1{,}5 (positivo).
  • (x-2)=0{,}5 (positivo).
    Produto numerador = positivo.
    Produto denominador = positivo.
    Razão = positivo/positivo = positivo.
    Então a expressão é positiva em (2,3).
  1. Intervalo (3,\infty). Teste x=4.
  • (3+x)=7 (positivo).
  • (3-x)= -1 (negativo).
  • (x-1)=3 (positivo).
  • (x-2)=2 (positivo).
    Produto numerador = positivo×negativo = negativo.
    Produto denominador = positivo.
    Razão = negativo/positivo = negativo.
    Então a expressão é negativa em (3,\infty).

Passo 5

Resumindo o comportamento nos pontos especiais:
  • Em x=-3 e x=3 o numerador é zero enquanto o denominador não é zero, então a expressão vale 0 nesses pontos.
  • Em x=1 e x=2 o denominador é zero, a expressão é indefinida (vertical asymptote); são pontos fora do domínio.

Passo 6

Conclusão final do estudo do sinal (juntando tudo): a função muda de sinal em cada ponto crítico (como esperado pelas multiplicidades ímpares). Organização por tipo:
  • Negativa em (-\infty,-3), (1,2) e (3,\infty).
  • Positiva em (-3,1) e (2,3).
  • Zera em x=-3 e x=3.
  • Indefinida (não pertence ao domínio) em x=1 e x=2.

Resposta

Positiva em (-3,1)\cup(2,3).
Negativa em (-\infty,-3)\cup(1,2)\cup(3,\infty).
Zera em x=-3 e x=3.
Indefinida em x=1 e x=2.

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