Determine uma relação entre
e
, eliminando a variável
e então esboce as curvas planas dadas com base nesta informação. Em todos os casos considere
. Exemplo:
e
, logo temos a reta
.
Passo 1
O enunciado dá as equações paramétricas
e pede duas coisas: (1) eliminar a variável parâmetro
para obter uma relação entre
e
; (2) esboçar a curva plana resultante. Foi dado também que
. As informações relevantes:
,
,
. Nada mais.
Passo 2
Primeiro passo concreto para eliminar o parâmetro: isolar
em função de
. A partir de
temos, em princípio,
. Como o enunciado afirma
, devemos escolher a raiz positiva. Portanto:
Aqui é importante notar que, por
, temos também
. Logo o domínio possível para
será
.
Passo 3
Agora substituímos
na expressão de
. Começamos com
Substituindo
obtemos
Usamos a propriedade dos logaritmos que diz
. Aqui
, então
Portanto
Passo 4
Concluímos que a relação entre
e
, após eliminar
, é
com domínio
(decorrente de
). A imagem (valores possíveis de
) é todo o conjunto
, porque a função logaritmo natural assume todos os reais quando o argumento varia em
.
Passo 5
Agora um esboço verbal e propriedades úteis para desenhar a curva na prova:
- A curva é a clássica função logarítmica
definida só para . - Ponto notável:
, pois . - Valores fáceis para marcar:
porque , e porque . - Comportamentos limites: quando
, (há uma assíntota vertical em ); quando , (cresce sem limite, mas lentamente). - Monotonicidade e concavidade: a derivada é
para , então a curva é estritamente crescente. A segunda derivada é , então a curva é côncava para baixo. - Esboço prático: desenhe o eixo
, marque com , depois desenhe uma curva que sobe devagar à direita passando por e desce rapidamente para à medida que se aproxima de . Não há interseção com o eixo (pois não pertence ao domínio).
Passo 6
Dicas rápidas para a prova (amigável e direto): quando tiver um parâmetro
em expressões tipo
e
, tente isolar
numa das equações (ou uma função simples de
) e substituir. Se aparecer logaritmo, use as propriedades
e
. Exemplo rápido extra: se
e
com
, então
e
.