Determine uma relação entre x e y, eliminando a variável t e então esboce as curvas planas dadas com base nesta informação. Em todos os casos considere t>0. Exemplo: x=t e y=t+1, logo temos a reta y=x+1.
x=t^{2}, y=2 \ln (t)

Passo 1

O enunciado dá as equações paramétricas \;x=t^{2},\;y=2\ln(t)\; e pede duas coisas: (1) eliminar a variável parâmetro t para obter uma relação entre x e y; (2) esboçar a curva plana resultante. Foi dado também que t>0. As informações relevantes: \;x=t^{2}, \;y=2\ln(t), \;t>0. Nada mais.

Passo 2

Primeiro passo concreto para eliminar o parâmetro: isolar t em função de x. A partir de \;x=t^{2} temos, em princípio, t=\pm\sqrt{x}. Como o enunciado afirma \;t>0, devemos escolher a raiz positiva. Portanto:
t=\sqrt{x}.
Aqui é importante notar que, por t>0, temos também x=t^{2}>0. Logo o domínio possível para x será x>0.

Passo 3

Agora substituímos t=\sqrt{x} na expressão de y. Começamos com
y = 2\ln(t).
Substituindo t=\sqrt{x} obtemos
y = 2\ln\bigl(\sqrt{x}\bigr).
Usamos a propriedade dos logaritmos que diz \ln\bigl(a^{b}\bigr)=b\ln(a). Aqui \sqrt{x}=x^{1/2}, então
\ln\bigl(\sqrt{x}\bigr)=\ln\bigl(x^{1/2}\bigr)=\tfrac{1}{2}\ln(x).
Portanto
y = 2\cdot \tfrac{1}{2}\ln(x)=\ln(x).

Passo 4

Concluímos que a relação entre x e y, após eliminar t, é
y=\ln(x),
com domínio x>0 (decorrente de t>0). A imagem (valores possíveis de y) é todo o conjunto (-\infty,\infty), porque a função logaritmo natural assume todos os reais quando o argumento varia em (0,\infty).

Passo 5

Agora um esboço verbal e propriedades úteis para desenhar a curva na prova:
  • A curva é a clássica função logarítmica \;y=\ln(x) definida só para x>0.
  • Ponto notável: (1,0), pois \ln(1)=0.
  • Valores fáceis para marcar: \bigl(e,1\bigr) porque \ln(e)=1, e \bigl(e^{2},2\bigr) porque \ln(e^{2})=2.
  • Comportamentos limites: quando x\to0^{+}, \ln(x)\to -\infty (há uma assíntota vertical em x=0); quando x\to+\infty, \ln(x)\to+\infty (cresce sem limite, mas lentamente).
  • Monotonicidade e concavidade: a derivada é \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1}{x}>0 para x>0, então a curva é estritamente crescente. A segunda derivada é \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}=-\dfrac{1}{x^{2}}<0, então a curva é côncava para baixo.
  • Esboço prático: desenhe o eixo x, marque x=1 com y=0, depois desenhe uma curva que sobe devagar à direita passando por (e,1) e desce rapidamente para -\infty à medida que se aproxima de x=0^{+}. Não há interseção com o eixo y (pois x=0 não pertence ao domínio).

Passo 6

Dicas rápidas para a prova (amigável e direto): quando tiver um parâmetro t em expressões tipo x=g(t) e y=h(t), tente isolar t numa das equações (ou uma função simples de t) e substituir. Se aparecer logaritmo, use as propriedades \ln(a^{b})=b\ln(a) e \exp(\ln(u))=u. Exemplo rápido extra: se x=t^{3} e y=\ln(t) com t>0, então t=x^{1/3} e y=\ln(x^{1/3})=\tfrac{1}{3}\ln(x).

Resposta

y=\ln(x),\;x>0

Exercícios relacionados