Exercício 0.3 Resolva as inequações dadas.
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a inequação
.
Informações dadas: a expressão é uma razão com numerador e denominador
. A incógnita é
e queremos todos os reais que satisfaçam a desigualdade estrita.
Informações dadas: a expressão é uma razão com numerador
Passo 2
Primeiro vamos verificar o domínio da expressão. O denominador é
. Observação importante: para todo
temos
, então
Portanto o denominador nunca é zero e a expressão está definida para todo
. Ou seja, o domínio é todos os reais.
Passo 3
Passo algébrico padrão: passar tudo para o mesmo lado para obter uma única fração. Subtraímos
dos dois lados:
Passo 4
Colocamos sobre o mesmo denominador
:
Agora simplificamos o numerador:
Logo a inequação fica
Passo 5
Fatoramos um sinal negativo no numerador para entender melhor:
Para analisar o sinal desta fração, estudamos o polinômio
.
Passo 6
Estudo do sinal de
: calculemos o discriminante
Como
, a parábola
não tem raízes reais. Além disso o coeficiente de
é
, então
para todo
. Consequentemente
para todo
.
Passo 7
Como o denominador
é sempre positivo e o numerador
é sempre negativo, a fração
é negativa para todo
. Portanto a desigualdade estrita
é satisfeita por todos os números reais.