Exercício 0.3 Resolva as inequações dadas.
\frac{x-3}{x^{2}+1}<1.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação \dfrac{x-3}{x^{2}+1}<1.
Informações dadas: a expressão é uma razão com numerador x-3 e denominador x^{2}+1. A incógnita é x e queremos todos os reais que satisfaçam a desigualdade estrita.

Passo 2

Primeiro vamos verificar o domínio da expressão. O denominador é \;x^{2}+1\;. Observação importante: para todo x\in\mathbb{R} temos \;x^{2}\ge 0\;, então
x^{2}+1 \ge 1>0.
Portanto o denominador nunca é zero e a expressão está definida para todo x\in\mathbb{R}. Ou seja, o domínio é todos os reais.

Passo 3

Passo algébrico padrão: passar tudo para o mesmo lado para obter uma única fração. Subtraímos 1 dos dois lados:
\frac{x-3}{x^{2}+1}-1<0.

Passo 4

Colocamos sobre o mesmo denominador \;x^{2}+1\;:
\frac{x-3}{x^{2}+1}-1=\frac{x-3-(x^{2}+1)}{x^{2}+1}.
Agora simplificamos o numerador:
x-3-(x^{2}+1)=x-3-x^{2}-1=-x^{2}+x-4.
Logo a inequação fica
\frac{-x^{2}+x-4}{x^{2}+1}<0.

Passo 5

Fatoramos um sinal negativo no numerador para entender melhor:
\frac{-x^{2}+x-4}{x^{2}+1}=-\frac{x^{2}-x+4}{x^{2}+1}.
Para analisar o sinal desta fração, estudamos o polinômio x^{2}-x+4.

Passo 6

Estudo do sinal de x^{2}-x+4: calculemos o discriminante
\Delta = (-1)^{2}-4\cdot 1\cdot 4 = 1-16 = -15.
Como \Delta<0, a parábola x^{2}-x+4 não tem raízes reais. Além disso o coeficiente de x^{2} é 1>0, então x^{2}-x+4>0 para todo x\in\mathbb{R}. Consequentemente -\bigl(x^{2}-x+4\bigr)<0 para todo x.

Passo 7

Como o denominador \;x^{2}+1\; é sempre positivo e o numerador -\bigl(x^{2}-x+4\bigr) é sempre negativo, a fração
-\frac{x^{2}-x+4}{x^{2}+1}
é negativa para todo x\in\mathbb{R}. Portanto a desigualdade estrita \dfrac{x-3}{x^{2}+1}<1 é satisfeita por todos os números reais.

Resposta

\mathbb{R}

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