Determine as relações de defasagens angulares entre as senoidais a seguir:
v_{1}(t)=-50 \cos \left(200 t+65^{\circ}\right) V e v_{2}(t)=30 \operatorname{sen}\left(200 t-40^{\circ}\right) V

Passo 1

O enunciado dá duas tensões senoidais de mesma frequência \omega=200\\ \text{rad/s}:
v_{1}(t) = -50\cos\bigl(200t + 65^\circ\bigr)\,\text{V},
v_{2}(t) = 30\operatorname{sen}\bigl(200t - 40^\circ\bigr)\,\text{V}.
Queremos a defasagem angular entre elas, ou seja, comparar seus ângulos de fase. Para isso vamos:
  1. Expressar ambas na forma A\cos\bigl(\omega t + \varphi\bigr).
  2. Extrair os valores de \varphi_1 e \varphi_2.
  3. Calcular \Delta\varphi = \varphi_1 - \varphi_2.

Passo 2

Converter v_{2}(t) de seno para cosseno usando
\operatorname{sen}(\theta)=\cos\bigl(\theta-90^\circ\bigr).
Logo,
v_{2}(t)=30\operatorname{sen}\bigl(200t-40^\circ\bigr) =30\cos\bigl(200t-40^\circ-90^\circ\bigr) =30\cos\bigl(200t-130^\circ\bigr).
Dessa forma, em forma padrão, v_{2}(t)=30\cos\bigl(200t+\varphi_2\bigr) com
\varphi_2 = -130^\circ.

Passo 3

Tratar o sinal negativo em v_{1}(t). Sabendo que
-\,\cos(\theta)=\cos(\theta+180^\circ),
temos
v_{1}(t)=-50\cos\bigl(200t+65^\circ\bigr) =50\cos\bigl(200t+65^\circ+180^\circ\bigr) =50\cos\bigl(200t+245^\circ\bigr).
Para normalizar o ângulo num intervalo (-180^\circ,180^\circ], subtraímos 360^\circ:
245^\circ - 360^\circ = -115^\circ.
Logo,
v_{1}(t)=50\cos\bigl(200t-115^\circ\bigr),
ou seja, \varphi_1=-115^\circ.

Passo 4

Agora temos
\varphi_1 = -115^\circ, \qquad \varphi_2 = -130^\circ.
A diferença é
\Delta\varphi = \varphi_1 - \varphi_2 = (-115^\circ) - (-130^\circ) = 15^\circ.
Um \Delta\varphi>0 indica que v_{1}(t) “anda na frente” de v_{2}(t) em 15^\circ.

Resposta

v_{1}(t) lidera v_{2}(t) por 15^\circ (ou, equivalentemente, v_{2}(t) atrasa em 15^\circ em relação a v_{1}(t)).

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