(a) Sem resolver a equação diferencial
faça um esboço das soluções e encontre as soluções de equilíbrio, dizendo em cada caso se o equilíbrio é estável, instável ou semi-estável.
(b) Forme o problema de valor inicial acrescentando a condição inicial
. Para quais valores de
a solução do problema de valor inicial posui um limite
finito?
(b) Forme o problema de valor inicial acrescentando a condição inicial
Passo 1
O enunciado trata de uma equação diferencial autônoma de primeira ordem
e pede (a) o esboço das soluções no eixo
(linha de fase), com identificação dos pontos de equilíbrio e sua estabilidade, e (b) para o problema de valor inicial
determinar para quais
a solução satisfaz
finito. Precisaremos achar as raízes de
, estudar o sinal de
em cada intervalo e classificar estabilidade.
Passo 2
Encontramos as soluções de equilíbrio resolvendo
cujo produto se anula em
Passo 3
Para classificar o sinal de
, note que
com zero só em
. Fora isso, em cada intervalo:
- Se
, então , e , logo . - Se
, então , e , logo . - Se
, então , e , logo . - Se
, então todos os fatores são positivos, logo .
Passo 4
Pelo comportamento de
em torno de cada raiz:
- Em
: não muda de sinal (positivo à esquerda e à direita), o que indica ponto semi-estável (estável por um lado e instável pelo outro). - Em
: muda de positivo (à esquerda) para negativo (à direita), logo é um equilíbrio estável. - Em
: muda de negativo (à esquerda) para positivo (à direita), logo é um equilíbrio instável.
Passo 5
Na linha de fase representamos os três pontos
e desenhamos setas indicando
onde cresce e
onde decresce. Assim obtemos o esboço qualitativo das soluções sem resolver explicitamente a EDO.
Passo 6
No problema de valor inicial
a solução segue a linha de fase. Para
:
- Se
, aumenta até aproximar-se de . - Se
, tende a . - Se
, a solução permanece em . - Se
, cresce sem limite (diverge).
Resposta
(a) Os equilíbrios são
(semi-estável),
(estável),
(instável).
(b) A solução do PVI tem
finito exatamente para