(a) Sem resolver a equação diferencial
y^prime=(y+1)^2(y-1) y
faça um esboço das soluções e encontre as soluções de equilíbrio, dizendo em cada caso se o equilíbrio é estável, instável ou semi-estável.
(b) Forme o problema de valor inicial acrescentando a condição inicial y(0)=beta. Para quais valores de beta a solução do problema de valor inicial posui um limite lim t infty y(t) finito?

Passo 1

O enunciado trata de uma equação diferencial autônoma de primeira ordem
y' = (y+1)^2(y-1),y
e pede (a) o esboço das soluções no eixo y (linha de fase), com identificação dos pontos de equilíbrio e sua estabilidade, e (b) para o problema de valor inicial
y(0)=beta,
determinar para quais beta a solução satisfaz limttoinftyy(t) finito. Precisaremos achar as raízes de (y+1)^2(y-1)y, estudar o sinal de f(y) em cada intervalo e classificar estabilidade.

Passo 2

Encontramos as soluções de equilíbrio resolvendo
(y+1)^2(y-1)y = 0,
cujo produto se anula em
y=-1, y=0, y=1

Passo 3

Para classificar o sinal de f(y)=(y+1)^2(y-1)y, note que (y+1)^2>=0 com zero só em y=-1. Fora isso, em cada intervalo:
  • Se y<-1, então (y+1)^2>0, (y-1)<0 e y<0, logo f(y)>0.
  • Se -1<y<0, então (y+1)^2>0, (y-1)<0 e y<0, logo f(y)>0.
  • Se 0<y<1, então (y+1)^2>0, (y-1)<0 e y>0, logo f(y)<0.
  • Se y>1, então todos os fatores são positivos, logo f(y)>0.

Passo 4

Pelo comportamento de f(y) em torno de cada raiz:
  • Em y=-1: f não muda de sinal (positivo à esquerda e à direita), o que indica ponto semi-estável (estável por um lado e instável pelo outro).
  • Em y=0: f muda de positivo (à esquerda) para negativo (à direita), logo é um equilíbrio estável.
  • Em y=1: f muda de negativo (à esquerda) para positivo (à direita), logo é um equilíbrio instável.

Passo 5

Na linha de fase representamos os três pontos -1,0,1 e desenhamos setas indicando y'>0 onde cresce e y'<0 onde decresce. Assim obtemos o esboço qualitativo das soluções sem resolver explicitamente a EDO.

Passo 6

No problema de valor inicial
y(0)=beta,
a solução segue a linha de fase. Para ttoinfty:
  • Se beta<-1, y(t) aumenta até aproximar-se de -1.
  • Se -1<beta<1, y(t) tende a 0.
  • Se beta=1, a solução permanece em y=1.
  • Se beta>1, y(t) cresce sem limite (diverge).

Resposta

(a) Os equilíbrios são
,y=-1 (semi-estável),
,y=0 (estável),
,y=1 (instável).
(b) A solução do PVI tem limttoinftyy(t) finito exatamente para
beta <= 1

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