Determine a representação da função por um integral de Fourier:
f(x)=c0, x<0 sen(x), 0pi

Passo 1

O enunciado pede para representar a função por meio de uma integral de Fourier, ou seja, achar sua transformada de Fourier F(omega) e depois usar a fórmula inversa para escrever f(x). Vamos precisar lembrar da definição da transformada complexa e da inversa.

Passo 2

Para uma função f(x) de suporte em [0,pi], a transformada de Fourier é dada por
F(omega)=integral-infty^inftyf(t)e^-iomega t,dt =integral0^pisin t,e^-iomega t,dt
porque f(t)=0 fora de [0,pi].

Passo 3

Precisamos então calcular
F(omega)=integral0^pisin t,e^-iomega t,dt
Usamos a identidade sin t=(e^it-e^-it)/(2i) e distribuímos.

Passo 4

Ao substituir e integrar termo a termo obtemos
F(omega)=e^-iomegapi+11-omega^2
(se seguir o cálculo escrito, chega-se a essa forma simplificada).

Passo 5

Por fim, a representação inversa (fórmula de Fourier inversa) é
f(x)=12piintegral-infty^inftyF(omega)e^iomega x,domega =12piintegral-infty^inftye^-iomegapi+11-omega^2;e^iomega x,domega

Resposta

f(x)=dfrac12piintegral-infty^inftydfrace^-iomegapi+11-omega^2;e^iomega x,domega, onde
F(omega)=dfrace^-iomegapi+11-omega^2.

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