Thabit ibn Qurra (826-901) exibiu uma fórmula para números amigáveis. Dois números são ditos amigáveis se a soma se cada um é igual a soma dos divisores positivos e próprios do outro. Thabit afirmou que se p, q e
são números primos da forma
e
então
e
são números amigáveis. Assinale a alternativa que contém números amigáveis. Observe que um divisor de um número n é próprio, se ele é diferente de n .
a. 220 e 284
b. 71 e 23
c. 16 e 25
d. 34 e 20
e. 12 e 21
a. 220 e 284
b. 71 e 23
c. 16 e 25
d. 34 e 20
e. 12 e 21
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Estamos falando de números amigáveis, que são pares de números onde a soma dos divisores próprios de um é igual ao outro número. A questão menciona a fórmula de Thabit ibn Qurra, que nos dá uma maneira de encontrar esses números amigáveis usando números primos em certas formas. Para resolver, vamos verificar qual das alternativas fornecidas corresponde a um par de números amigáveis.
Passo 2
Vamos relembrar o que são divisores próprios. Um divisor próprio de um número
é qualquer número que divide
sem deixar resto, exceto o próprio
. Por exemplo, os divisores próprios de 220 são 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 e 110.
Passo 3
Agora, vamos entender a fórmula de Thabit. Segundo Thabit ibn Qurra, se
,
e
são números primos que seguem as seguintes formas:
então os números
e
serão números amigáveis.
Passo 4
Vamos verificar cada alternativa para ver qual forma um par de números amigáveis.
a. 220 e 284
- Divisores próprios de 220: 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110. Soma = 284.
- Divisores próprios de 284: 1, 2, 4, 71, 142. Soma = 220.
- Como a soma dos divisores próprios de um é igual ao outro, 220 e 284 são números amigáveis.
b. 71 e 23
- Divisores próprios de 71: 1. Soma = 1.
- Divisores próprios de 23: 1. Soma = 1.
- Não correspondem, pois 1 ≠ 71 e 1 ≠ 23.
c. 16 e 25
- Divisores próprios de 16: 1, 2, 4, 8. Soma = 15.
- Divisores próprios de 25: 1, 5. Soma = 6.
- Não correspondem, pois 15 ≠ 25 e 6 ≠ 16.
d. 34 e 20
- Divisores próprios de 34: 1, 2, 17. Soma = 20.
- Divisores próprios de 20: 1, 2, 4, 5, 10. Soma = 22.
- Não correspondem, pois 20 ≠ 34 e 22 ≠ 20.
e. 12 e 21
- Divisores próprios de 12: 1, 2, 3, 4, 6. Soma = 16.
- Divisores próprios de 21: 1, 3, 7. Soma = 11.
- Não correspondem, pois 16 ≠ 21 e 11 ≠ 12.
Resposta
A alternativa a. 220 e 284 contém números amigáveis.