Um método para a solução aproximada de equações, originário da China, mas aplicado por hindus e árabes, era o método da falsa posição dupla. Em linguagem moderna, o método consiste em tomar dois números x1 e
próximos da solução da equação
, um de cada lado desta solução, e traçar a corda que une os pontos (
) e (
) . A interseção (
), desta corda com o eixo o
é tal que
é uma aproximação da solução. É fácil verificar que
.
Calcule, por falsa posição dupla, uma aproximação para a raiz de
situada entre 2 e 3 .
Calcule, por falsa posição dupla, uma aproximação para a raiz de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma aproximação da raiz da equação
que está entre 2 e 3 usando o método da falsa posição dupla. Para isso, vamos usar alguns conceitos de álgebra e métodos numéricos, especificamente o método da falsa posição.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o método da falsa posição dupla. Esse método é uma técnica para encontrar raízes de equações não-lineares. A ideia é pegar dois pontos próximos da raiz (neste caso, entre 2 e 3), calcular os valores da função nesses pontos, e então traçar uma linha reta (a “corda”) que conecta esses dois pontos. O ponto onde essa linha cruza o eixo
será nossa próxima aproximação da raiz.
Passo 3
Vamos definir nossa função
:
Queremos encontrar
entre
e
.
Passo 4
Calculando os valores da função nos pontos
e
:
Percebemos que
e
, então a raiz está realmente entre 2 e 3.
Passo 5
Agora, vamos aplicar a fórmula do método da falsa posição dupla para encontrar a próxima aproximação
:
Substituindo os valores que temos:
Passo 6
Vamos verificar o sinal de
para decidir qual intervalo manter:
Calculando:
Como
e
, a raiz está entre 2 e 2,47. Substituímos
por
e repetimos o processo para refinar a aproximação.
Passo 7
Aplicando novamente a fórmula com
e
:
Verificando
:
Agora, nossa aproximação está entre 2 e 2,38.
Resposta
Após duas iterações do método da falsa posição dupla, uma aproximação para a raiz da equação
entre 2 e 3 é
.