Um método para a solução aproximada de equações, originário da China, mas aplicado por hindus e árabes, era o método da falsa posição dupla. Em linguagem moderna, o método consiste em tomar dois números x1 e x2 próximos da solução da equação f(x)=0, um de cada lado desta solução, e traçar a corda que une os pontos ( x1, f(x1) ) e ( x2, f(x2) ) . A interseção ( x3,0 ), desta corda com o eixo o x é tal que x3 é uma aproximação da solução. É fácil verificar que x3=x2 cdot f(x1)-x1 cdot f(x2) / f(x1)-f(x2).
Calcule, por falsa posição dupla, uma aproximação para a raiz de x^3-36x+72=0 situada entre 2 e 3 .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma aproximação da raiz da equação que está entre 2 e 3 usando o método da falsa posição dupla. Para isso, vamos usar alguns conceitos de álgebra e métodos numéricos, especificamente o método da falsa posição.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o método da falsa posição dupla. Esse método é uma técnica para encontrar raízes de equações não-lineares. A ideia é pegar dois pontos próximos da raiz (neste caso, entre 2 e 3), calcular os valores da função nesses pontos, e então traçar uma linha reta (a “corda”) que conecta esses dois pontos. O ponto onde essa linha cruza o eixo será nossa próxima aproximação da raiz.

Passo 3

Vamos definir nossa função f(x) = x^3 - 36x + 72 :
Queremos encontrar entre e .

Passo 4

Calculando os valores da função nos pontos f(2) = (2)^3 - 36(2) + 72 = 8 - 72 + 72 = 8 e f(3) = (3)^3 - 36(3) + 72 = 27 - 108 + 72 = -9 :
Percebemos que e , então a raiz está realmente entre 2 e 3.

Passo 5

Agora, vamos aplicar a fórmula do método da falsa posição dupla para encontrar a próxima aproximação x3 = x2 cdot f(x1) - x1 cdot f(x2)f(x1) - f(x2) :
x3 = 3 cdot 8 - 2 cdot (-9)8 - (-9) = 24 + 1817 = 4217 approx 2,47
Substituindo os valores que temos:

Passo 6

Vamos verificar o sinal de f(2,47) = (2,47)^3 - 36(2,47) + 72 para decidir qual intervalo manter:
f(2,47) approx 15,04 - 88,92 + 72 approx -1,88
Calculando:
Como e , a raiz está entre 2 e 2,47. Substituímos por e repetimos o processo para refinar a aproximação.

Passo 7

Aplicando novamente a fórmula com x3 = 2,47 cdot 8 - 2 cdot (-1,88)8 - (-1,88) = 19,76 + 3,769,88 = 23,529,88 approx 2,38 e f(2,38) approx (2,38)^3 - 36(2,38) + 72 approx 13,52 - 85,68 + 72 approx -0,16 :
Verificando :
Agora, nossa aproximação está entre 2 e 2,38.

Resposta

Após duas iterações do método da falsa posição dupla, uma aproximação para a raiz da equação entre 2 e 3 é .

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