Encontre a série de Taylor de f(x)=x^3 sin (x) e g(x)=x cos (x) centradas em pi2.
Suponha que f e g tenham expansão cm uma série de potências. Não mostre que Rn(x) 0. Também encontre o raio de convergência associado.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a série de Taylor para as funções e , ambas centradas em . Para isso, vamos usar o conceito de séries de potência, que é uma forma de representar funções como somas infinitas de termos envolvendo potências de , onde é o ponto central da série. Também vamos determinar o raio de convergência, que indica até onde essa série representa bem a função.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como encontrar a série de Taylor de uma função. A série de Taylor de uma função h(x) = sumn=0^infty h^(n)(a)n! (x - a)^n centrada em é dada por:
Aqui, representa a n-ésima derivada de avaliada em , e é o fatorial de .

Passo 3

Vamos começar com a função . Primeiro, precisamos calcular as derivadas de até uma certa ordem e avaliá-las em .

Passo 4

Calculando a primeira derivada de f'(x) = 3x^2 sin(x) + x^3 cos(x) :
f'(pi2) = 3(pi2)^2 sin(pi2) + (pi2)^3 cos(pi2) = 3pi^24
Agora, avaliamos em :
Porque e .

Passo 5

Repetindo esse processo para as próximas derivadas, encontramos um padrão que nos permite escrever a série de Taylor de f(x) = sumn=0^infty f^(n)(pi2)n! (x - pi2)^n em torno de :

Passo 6

Agora, vamos fazer o mesmo para a função g(x) = sumn=0^infty g^(n)(pi2)n! (x - pi2)^n . Calculamos as derivadas de , avaliamos em e substituímos na fórmula da série de Taylor:

Passo 7

Depois de encontrar as séries de Taylor para ambas as funções, precisamos determinar o raio de convergência. Para isso, usamos o teste da razão, que nos diz que o raio de convergência 1R = limn to infty | an+1an | é:
Onde são os coeficientes da série.

Passo 8

Aplicando o teste da razão às séries de e , encontramos que ambas as séries têm raio de convergência infinito, ou seja, . Isso significa que as séries de Taylor são válidas para todos os valores de .

Resposta

A série de Taylor de f(x) = sumn=0^infty f^(n)(pi2)n! (x - pi2)^n centrada em g(x) = sumn=0^infty g^(n)(pi2)n! (x - pi2)^n é:
E a série de Taylor de centrada em é:
Ambas as séries possuem raio de convergência .

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