Encontre a série de Taylor de e centradas em .
Suponha que e tenham expansão cm uma série de potências. Não mostre que . Também encontre o raio de convergência associado.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a série de Taylor para as funções e , ambas centradas em . Para isso, vamos usar o conceito de séries de potência, que é uma forma de representar funções como somas infinitas de termos envolvendo potências de , onde é o ponto central da série. Também vamos determinar o raio de convergência, que indica até onde essa série representa bem a função.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como encontrar a série de Taylor de uma função. A série de Taylor de uma função centrada em é dada por:
Aqui, representa a n-ésima derivada de avaliada em , e é o fatorial de .
Passo 3
Vamos começar com a função . Primeiro, precisamos calcular as derivadas de até uma certa ordem e avaliá-las em .
Passo 4
Calculando a primeira derivada de :
Agora, avaliamos em :
Porque e .
Passo 5
Repetindo esse processo para as próximas derivadas, encontramos um padrão que nos permite escrever a série de Taylor de em torno de :
Passo 6
Agora, vamos fazer o mesmo para a função . Calculamos as derivadas de , avaliamos em e substituímos na fórmula da série de Taylor:
Passo 7
Depois de encontrar as séries de Taylor para ambas as funções, precisamos determinar o raio de convergência. Para isso, usamos o teste da razão, que nos diz que o raio de convergência é:
Onde são os coeficientes da série.
Passo 8
Aplicando o teste da razão às séries de e , encontramos que ambas as séries têm raio de convergência infinito, ou seja, . Isso significa que as séries de Taylor são válidas para todos os valores de .
Resposta
A série de Taylor de f(x) = sumn=0^infty f^(n)(pi2)n! (x - pi2)^n centrada em g(x) = sumn=0^infty g^(n)(pi2)n! (x - pi2)^n é: