Determine uma representação paramétrica das seguintes superfícies
Do cilindro parabólico, y=x^2, cortado pelos planos z=0, z=3, y=2.
Thomas 12ed exer 16.5.10

Passo 1

O enunciado pede uma parametrização do cilindro parabólico definido por y=x^2, limitado pelos planos z=0, z=3 e y=2. O objetivo é representar essa superfície como uma aplicação r(u,v) de um domínio em R^2 para pontos (x,y,z) no espaço.

Passo 2

Como a superfície é dada explicitamente por y=x^2, faz sentido escolher x e z como parâmetros. Definimos
u = x, v = z
Dessa forma, a aplicação paramétrica tem a forma
r(u,v) = l(x(u,v),,y(u,v),,z(u,v)r) = l(u,;u^2,;vr)

Passo 3

Falta determinar os intervalos para u e v a partir das restrições:
  • O plano y=2 u^2=2, ou seja,
    ,uin[-raiz2,raiz2]
  • Os planos z=0 e z=3 impõem
    ,vin[0,3]

Resposta

A representação paramétrica da porção solicitada do cilindro parabólico é
r(u,v) = lang<= u,;u^2,;vrang<=, uin[-raiz2,raiz2],; vin[0,3]

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