Identifique a superfície que tem a equação paramétrica dada (explique matematicamente)
r(u, v)=u i+u cos v j+u sin v k

Passo 1

O enunciado nos dá a parametrização
r(u,v)=u,i+ucos v,j+usin v,k
e pede para identificar a superfície. O conteúdo aqui é reconhecimento de superfícies através da eliminação dos parâmetros u e v.

Passo 2

Vamos chamar as componentes de r(u,v) de (x,y,z). Então
x = u, y = ucos v, z = usin v
Agora, calculemos
y^2 + z^2 = l(ucos vr)^2 + l(usin vr)^2 = u^2(cos^2 v + sin^2 v) = u^2

Passo 3

Como x = u, temos u^2 = x^2. Logo a relação implícita é
y^2 + z^2 = x^2
Esta é a equação de um cone circular reto com vértice na origem e eixo ao longo do eixo x.

Passo 4

Dependendo do domínio de u:
  • Se uinR, a parametrização cobre as duas nappes (as duas “metades”) do cone.
  • Se u>=0, cobre apenas a nappe direita (para x>=0).

Resposta

A superfície é o cone circular reto de equação
y^2 + z^2 = x^2

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