Determine as direções em que a derivada direcional de f(x, y)=y e^-x y no ponto (2,0) tem valor 1.
(17) Seja f(x, y)=2 x e^y-3 y e^x+x-y. Determine as direções em que a derivada direcional de f no ponto ( 0,0 ) é igual zero.

Passo 1

Para a primeira função temos f(x,y)=y e^-xy e queremos as direções u=(ux,uy) em que a derivada direcional em (2,0) vale 1. Vamos precisar do gradiente de f e da definição
Duf(P)=nabla f(P)cdot u=1,
sujeito a |u|=1.

Passo 2

Calculemos o gradiente de f:
partial fpartial x=-y^2e^-xy, partial fpartial y=e^-xy(1-xy)
Em (2,0) temos e^-2cdot0=1 e y=0, logo
nabla f(2,0)=(0,,1)

Passo 3

A derivada direcional em (2,0) é
nabla f(2,0)cdot u = 0cdot ux + 1cdot uy = uy = 1,
e a normalização exige
ux^2 + uy^2 = 1 Longrightarrow ux^2 + 1 = 1 ;Rightarrow; ux=0
Portanto u=(0,1).

Passo 4

Para a segunda função temos f(x,y)=2x e^y-3y e^x+x-y. Queremos as direções u=(ux,uy) em que a derivada direcional em (0,0) vale 0, isto é
Duf(0,0)=nabla f(0,0)cdot u = 0,
com |u|=1.

Passo 5

Calculemos o gradiente de f:
partial fpartial x=2e^y-3y e^x+1, partial fpartial y=2x e^y-3e^x-1
Em (0,0) temos e^0=1 e x=y=0, então
nabla f(0,0)=(2cdot1-0+1,;0-3cdot1-1)=(3,,-4)

Passo 6

A condição nabla f(0,0)cdot u=0
3ux -4uy = 0 Longrightarrow ux = tfrac43uy,
e a normalização ,ux^2+uy^2=1 leva a
l(tfrac43uyr)^2 + uy^2 =1 ;Longrightarrow; 169uy^2 + uy^2 =1 ;Longrightarrow; 259uy^2=1 ;Longrightarrow; uy=pm35,
de onde ux=pm45 (mesmo sinal de uy).

Resposta

As direções unitárias em que Duf(0,0)=0 são
u=l(tfrac45,tfrac35r)e u=l(-tfrac45,-tfrac35r)

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