Identifique a superfície que tem a equação paramétrica dada (explique matematicamente)
r(u, v)=u i+cos v j+sin v k

Passo 1

O enunciado fornece a parametrização da superfície
r(u,v) = u,i + cos v,j + sin v,k
Aqui o conteúdo é reconhecimento de superfície a partir de sua parametrização. Vamos usar a relação entre as componentes para encontrar a equação implícita.

Passo 2

Escrevendo separadamente as coordenadas, temos
x = u, y = cos v, z = sin v
Repare que u é livre (varre todo o eixo x) enquanto v descreve um círculo no plano yz.

Passo 3

No plano yz, somamos os quadrados de y e z:
y^2 + z^2 = (cos v)^2 + (sin v)^2 = 1
Portanto, a superfície satisfaz a equação implícita
y^2 + z^2 = 1

Passo 4

Como x=u varia livremente e y^2+z^2=1 é um círculo de raio 1 em cada seção perpendicular ao eixo x, essa superfície é um cilindro circular reto de raio 1 cujo eixo é o eixo x.

Resposta

A superfície é o cilindro circular de raio 1 de eixo ao longo do eixo x, dado implicitamente por
y^2 + z^2 = 1

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