Determine uma representação paramétrica para a superfície:
Descrita pelo conjunto ;
Passo 1
Beleza, então a gente tem que encontrar uma representação paramétrica pra uma superfície definida por . Isso está relacionado ao estudo de superfícies no espaço 3D e, mais especificamente, a cilindros elípticos. Vamos precisar usar um pouco de geometria analítica e parametrização de superfícies.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação dada: . Essa é a equação de uma elipse no plano XY. Como não tem termo em , isso significa que a superfície se estende infinitamente ao longo do eixo Z, formando um cilindro elíptico.
Passo 3
Para parametrizar essa superfície, a gente precisa expressar , e em termos de dois parâmetros. Como já temos a equação da elipse, podemos usar um parâmetro para representar os pontos na elipse e como o segundo parâmetro que varia livremente.
Passo 4
A parametrização padrão para uma elipse é:
No nosso caso, comparando com , temos e .
Passo 5
Substituindo esses valores na parametrização da elipse, ficamos com:
Agora, precisamos incluir o parâmetro , que pode ser simplesmente , já que a superfície se estende ao longo do eixo Z sem restrições.
Passo 6
Portanto, a representação paramétrica completa da superfície é: