Determine uma representação paramétrica para a superfície:
Descrita pelo conjunto (x, y, z) in R^3 mid x^2+4 y^2=1;

Passo 1

Beleza, então a gente tem que encontrar uma representação paramétrica pra uma superfície definida por x^2 + 4y^2 = 1 . Isso está relacionado ao estudo de superfícies no espaço 3D e, mais especificamente, a cilindros elípticos. Vamos precisar usar um pouco de geometria analítica e parametrização de superfícies.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação dada: x^2 + 4y^2 = 1 . Essa é a equação de uma elipse no plano XY. Como não tem termo em z , isso significa que a superfície se estende infinitamente ao longo do eixo Z, formando um cilindro elíptico.

Passo 3

Para parametrizar essa superfície, a gente precisa expressar x , y e z em termos de dois parâmetros. Como já temos a equação da elipse, podemos usar um parâmetro theta para representar os pontos na elipse e z como o segundo parâmetro que varia livremente.

Passo 4

A parametrização padrão para uma elipse x^2a^2 + y^2b^2 = 1 é:
x = a cos(theta), y = b sin(theta)
No nosso caso, comparando com x^2 + 4y^2 = 1 , temos a = 1 e b = 12 .

Passo 5

Substituindo esses valores na parametrização da elipse, ficamos com:
x = cos(theta), y = 12 sin(theta)
Agora, precisamos incluir o parâmetro z , que pode ser simplesmente z = z , já que a superfície se estende ao longo do eixo Z sem restrições.

Passo 6

Portanto, a representação paramétrica completa da superfície é:
x = cos(theta) y = 12 sin(theta) z = z
onde theta varia entre 0 e 2pi e z pertence a R .

Resposta

A representação paramétrica da superfície é:
x = cos(theta) y = 12 sin(theta) z = z
onde theta in [0, 2pi) e z in R .

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