Escreva as superfícies descritas pelas funções vetoriais abaixo em coordenadas cartesianas.
phi(r, theta)=(r cos theta, r sin theta, r), 0 <= r <= 1, 0 <= theta <= 2 pi. Resp.: z=raizx^2+y^2, com z in[0,1].

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para transformar uma função vetorial em coordenadas polares para coordenadas cartesianas. O conteúdo envolve sistemas de coordenadas (polar e cartesiano) e a conversão entre eles. Vamos precisar usar as relações básicas de conversão entre polar e cartesiano para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as componentes da função vetorial dada em coordenadas polares:
phi(r, theta) = (r cos theta, r sin theta, r)
Aqui, x = r cos theta , y = r sin theta e z = r .

Passo 3

Nosso objetivo é expressar z em termos de x e y . Sabemos que em coordenadas cartesianas, podemos relacionar r com x e y usando a fórmula:
r = raizx^2 + y^2
Isso vem da definição do raio em coordenadas polares.

Passo 4

Como z = r , podemos substituir r pela expressão em termos de x e y :
z = raizx^2 + y^2
Assim, expressamos z em coordenadas cartesianas.

Passo 5

Além disso, sabemos que r varia de 0 a 1 ( 0 <= r <= 1). Como z = r , isso significa que z também varia de 0 a 1:
0 <= z <= 1

Resposta

z = raizx^2+y^2 , com z in [0,1] .

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