Escreva as superfícies descritas pelas funções vetoriais abaixo em coordenadas cartesianas.
. Resp.:
, com
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para transformar uma função vetorial em coordenadas polares para coordenadas cartesianas. O conteúdo envolve sistemas de coordenadas (polar e cartesiano) e a conversão entre eles. Vamos precisar usar as relações básicas de conversão entre polar e cartesiano para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as componentes da função vetorial dada em coordenadas polares:
Aqui,
,
e
.
Passo 3
Nosso objetivo é expressar
em termos de
e
. Sabemos que em coordenadas cartesianas, podemos relacionar
com
e
usando a fórmula:
Isso vem da definição do raio em coordenadas polares.
Passo 4
Como
, podemos substituir
pela expressão em termos de
e
:
Assim, expressamos
em coordenadas cartesianas.
Passo 5
Além disso, sabemos que
varia de 0 a 1 (
). Como
, isso significa que
também varia de 0 a 1: