Nos exercícios de 1 a 29 encontrar a área da região limitada pelas curvas dadas.
y=tg x, x=0 e y=1

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pelas curvas ;y=tan x, ;x=0 e ;y=1. Vamos usar cálculo de integrais para achar essa área, subtraindo a função inferior da superior e integrando em x.

Passo 2

Precisamos determinar onde tan x intercepta y=1. Resolvendo
tan x = 1
obtemos
x = arctan(1) = pi4

Passo 3

O domínio de integração em x vai de x=0 até x=pi/4. Nesse intervalo, a curva superior é y=1 e a inferior é y=tan x. Portanto a área vale
integral0^pi/4l(1 - tan xr),dx

Passo 4

Calculemos a integral:
integral (1 - tan x),dx = integral 1,dx ;-;integral tan x,dx = x ;+;lnl|cos xr| + C,
pois integral tan x,dx = -ln|cos x|.

Passo 5

Agora avaliamos de 0 a pi/4:
l[x + lnl|cos xr|r]0^pi/4 = l(pi4 + lnl|cos(pi/4)r|r) - l(0 + lnl|cos(0)r|r)
Como cos(pi/4)=tfracraiz22 e cos(0)=1, isso dá
pi4 + ln!l(tfracraiz22r) - ln(1) = pi4 + ln!l(2^-1/2r) = pi4 - tfrac12ln 2

Resposta

A área da região é
pi4 ;-;12ln 2

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