Nos exercícios de 1 a 29 encontrar a área da região limitada pelas curvas dadas.
y=sen x e y=-sen x, x in[0,2 pi]

Passo 1

O enunciado pede para calcular a área da região limitada pelas curvas ,y=sin x e ,y=-sin x no intervalo ,xin[0,2pi]. O conteúdo é “área entre duas curvas”: vamos usar a fórmula
A=integrala^bl(curva superior-curva inferiorr),dx
e identificar em quais trechos cada função fica acima da outra.

Passo 2

As curvas se interceptam quando sin x=0, i.e.\ em x=0,pi,2pi.
  • Em [0,pi]: sin x>=0, logo superior é sin x e inferior é -sin x.
  • Em [pi,2pi]: sin x<=0, logo superior é -sin x e inferior é sin x.
    Assim
A=integral0^pil[sin x-(-sin x)r]dx ; + ; integralpi^2pil[(-sin x)-sin xr]dx

Passo 3

Calculemos a parte de [0,pi]:
integral0^pi2sin x,dx =2l[-cos xr]0^pi =2l[(-cospi)-(-cos0)r] =2l[(-(-1))-(-1)r] =2(1+1)=4

Passo 4

Agora a parte de [pi,2pi]:
integralpi^2pi(-2sin x),dx =-2l[-cos xr]pi^2pi =-2l[(-cos(2pi)) -(-cospi)r] =-2l[(-1)-(1)r] =-2(-2)=4

Passo 5

Somando as duas áreas parciais:
A=4+4=8

Resposta

8

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