Utilizando integral tripla, calcule o volume do conjunto dado por (x, y, z) mid x^2+ y^2 <= 4, x^2+y^2+z^2 <= 9. (Resposta: 4 pi3[-5 raiz5+27].)

Passo 1

O enunciado pede o volume do conjunto
(x,y,z)mid x^2+y^2<=4,;x^2+y^2+z^2<=9.
Esse é o volume da interseção de um cilindro de raio 2 com uma esfera de raio 3. Vamos usar coordenadas cilíndricas e integrar em r,theta,z.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas temos
x = rcostheta, y = rsintheta, z=z, dV = r,dz,dr,dtheta
As condições viram
0<= r<=2, 0<=theta<=2pi, -raiz9-r^2<= z<=raiz9-r^2
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V = integral0^2pi!integral0^2!integral-raiz9-r^2^raiz9-r^2 r,dz,dr,dtheta

Passo 3

Integramos primeiro em z, que dá 2raiz9-r^2, e depois em theta, que dá 2pi. Assim
V = 2piintegral0^22,rraiz9-r^2,dr =4piintegral0^2rraiz9-r^2,dr

Passo 4

Para calcular integral0^2rraiz9-r^2,dr use a substituição u=9-r^2, du=-2r,dr:
integral0^2rraiz9-r^2,dr =-tfrac12integral9^5u^1/2,du =tfrac12integral5^9u^1/2,du =tfrac12l[tfrac23u^3/2r]5^9 =tfrac13l(27-5raiz5r)

Passo 5

Substituindo no volume:
V = 4picdottfrac13l(27-5raiz5r) =tfrac4pi3l[27-5raiz5r]

Resposta

4pi3l[27-5raiz5r]

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