Determine uma representação parametrizada para os seguintes objetos:
A superfície cuja fronteira é o triângulo com vértices (1,0,0),(0,1,0) e (0,0,1).

Passo 1

O enunciado pede uma parametrização da superfície plana cujo contorno é o triângulo de vértices (1,0,0), (0,1,0) e (0,0,1).
Conteúdo: parametrização de superfícies planas em R^3.
O que vamos usar: escolher um ponto base no triângulo, dois vetores diretores que percorrem os lados e determinar o domínio adequado dos parâmetros.

Passo 2

Escolhemos como ponto base
P0 = (1,0,0),
e tomamos dois vetores diretores que vão de P0 aos outros vértices:
v1 = (0,1,0) - (1,0,0) = (-1,1,0), v2 = (0,0,1) - (1,0,0) = (-1,0,1)

Passo 3

A parametrização geral do plano é
r(s,t) = P0 + s,v1 + t,v2
Substituindo,
r(s,t) = (1,0,0) + s(-1,1,0) + t(-1,0,1) = l(1 - s - t,;s,;tr)

Passo 4

Para que r(s,t) cubra exatamente o triângulo, os coeficientes s e t devem satisfazer
s >= 0, t >= 0, s + t <= 1
Esse conjunto em (s,t) é a região triangular no plano parâmetro.

Resposta

r(s,t) = l(1 - s - t,;s,;tr), (s,t)in D=(s,t)mid s>=0,;t>=0,;s+t<=1

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