2 ^a QUESTÃO:

Determine a curva cujo coeficiente angular no ponto ( x , y) é x e^x sabendo que ela deve passar pelo ponto (0,1).
  • Observe que y=integral x e^x dx. * Use o método de integração por partes: integral u dv=u v-integral v. du

Passo 1

O enunciado pede a curva cuja derivada satisfaz
dydx = x e^x
e que passe por (0,1). Isso é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem que podemos resolver integrando o lado direito em relação a x.

Passo 2

Para achar
y = integral x e^x,dx
vamos usar integração por partes, escolhendo
u = x, dv = e^x,dx
Então
du = dx, v = integral e^x,dx = e^x

Passo 3

Aplicando a fórmula
integral u,dv = u,v - integral v,du
temos
integral x e^x,dx = x e^x - integral e^x,dx = x e^x - e^x + C

Passo 4

Portanto, a solução geral da ODE é
y = x e^x - e^x + C

Passo 5

Impondo a condição inicial y(0)=1, substituímos x=0 e y=1:
1 = 0cdot e^0 - e^0 + C = -1 + C
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C = 2

Passo 6

A curva procurada fica
y = x e^x - e^x + 2

Resposta

y = x e^x - e^x + 2

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