QUESTÃO:

A velocidade (no instante t ) de um ponto em movimento é ?
  • Observe que
  • Use o método de integração por partes: . du
  • Use o método em frações parciais para o caso linear.)

Passo 1

O enunciado dá a velocidade
v(t)=ln(t+1)(t+2)^2
e pede a distância percorrida
S(t)=integral0^tv(tau), dtau
com a condição S(0)=0.
Vamos usar integração por partes para calcular
integral ln(t+1)(t+2)^2, dt
e depois ajustar a constante para S(0)=0.

Passo 2

Escolhemos
u=ln(t+1), dv=1(t+2)^2, dt
Então
du=1t+1, dt, v=integral1(t+2)^2, dt=-1t+2
Logo, por partes,
integral ln(t+1)(t+2)^2, dt = u,v-integral v, du =-ln(t+1)t+2+integral1(t+2)(t+1), dt

Passo 3

Fazemos frações parciais em
1(t+1)(t+2) =At+1+Bt+2
Temos A=1 e B=-1, pois
1=A(t+2)+B(t+1)implies A=1,;B=-1
Então
integral1(t+2)(t+1), dt =integrall(1t+1-1t+2r), dt =ln(t+1)-ln(t+2)
Assim a primitiva geral é
integral ln(t+1)(t+2)^2, dt =-ln(t+1)t+2+ln(t+1)-ln(t+2)+C

Passo 4

Para satisfazer S(0)=0 calculamos em t=0:
S(0)=-ln12+ln1-ln2+C= -ln2+C=0 implies C=ln2

Resposta

S(t)=-ln(t+1)t+2+ln(t+1)-ln(t+2)+ln2

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