Determine uma representação parametrizada para a superfície.
A parte do hiperboloide
que está em frente do plano
.
A parte do hiperboloide
Passo 1
O enunciado pede uma parametrização da parte do hiperboloide
que fica “em frente” ao plano
, ou seja, com
.
Para resolver, vamos reconhecer que dividindo tudo por obtemos a forma
Para resolver, vamos reconhecer que dividindo tudo por
que é um hiperboloide de duas folhas (duas “folhas” desconectadas em
e
). Queremos só a folha com
. Usaremos uma parametrização em coordenadas “elípticas” na seção transversal.
Passo 2
Dividindo a equação original por
e isolando
, temos
Como
na folha
, definimos
de modo que a equação se torne
Passo 3
A relação
é a equação de uma elipse de semi-eixo
em
e
em
. Logo podemos parametrizar essa elipse por um ângulo
:
Passo 4
Como
, temos
com
. Assim a parametrização completa da folha com
é
com domínio