Determine uma representação parametrizada para a superfície.
A parte do hiperboloide 4 x^{2}-4 y^{2}-z^{2}=4 que está em frente do plano y z.

Passo 1

O enunciado pede uma parametrização da parte do hiperboloide
4x^2 - 4y^2 - z^2 = 4
que fica “em frente” ao plano yz, ou seja, com x>0.
Para resolver, vamos reconhecer que dividindo tudo por 4 obtemos a forma
x^2 - y^2 - \frac{z^2}{4} = 1,
que é um hiperboloide de duas folhas (duas “folhas” desconectadas em x\ge1 e x\le -1). Queremos só a folha com x>0. Usaremos uma parametrização em coordenadas “elípticas” na seção transversal.

Passo 2

Dividindo a equação original por 4 e isolando x^2, temos
x^2 - 1 \;=\; y^2 + \frac{z^2}{4}.
Como x^2-1\ge0 na folha x>0, definimos
r^2 = x^2 - 1,\quad r\ge0,
de modo que a equação se torne
y^2 + \frac{z^2}{4} = r^2.

Passo 3

A relação
y^2 + \frac{z^2}{4} = r^2
é a equação de uma elipse de semi-eixo r em y e 2r em z. Logo podemos parametrizar essa elipse por um ângulo \theta\in[0,2\pi):
y = r\cos\theta, \quad z = 2r\sin\theta.

Passo 4

Como r^2 = x^2-1, temos
x = \sqrt{1 + r^2},
com \sqrt{1+r^2}>0. Assim a parametrização completa da folha com x>0 é
\mathbf r(r,\theta) = \bigl(x(r),\,y(r,\theta),\,z(r,\theta)\bigr) = \Bigl(\sqrt{1+r^2},\;r\cos\theta,\;2r\sin\theta\Bigr),
com domínio
r\in[0,\infty),\quad \theta\in[0,2\pi).

Resposta

\boxed{ \mathbf r(r,\theta) = \bigl(\sqrt{1+r^2},\,r\cos\theta,\,2r\sin\theta\bigr), \quad r\ge0,\;\theta\in[0,2\pi). }

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