Determine uma representação parametrizada para a superfície.
O plano que passa pelo ponto (0,-1,5) e contém os vetores (2,1,4) e (-3,2,5)

Passo 1

O enunciado pede uma representação paramétrica do plano que passa por P=(0,-1,5) e contém os vetores de direção
v_1 = (2,1,4), \quad v_2 = (-3,2,5).
O conteúdo é “equação vetorial de um plano” usando um ponto e dois vetores diretores.

Passo 2

Para ter um plano precisamos de um ponto P e de dois vetores não colineares. Note que v_1 e v_2 não são múltiplos um do outro, logo são linearmente independentes e determinam um plano.

Passo 3

A forma geral da representação paramétrica de um plano é
r(s,t) \;=\; P \;+\; s\,v_1 \;+\; t\,v_2,
onde s,t\in\mathbb{R}.

Passo 4

Substituindo P=(0,-1,5), v_1=(2,1,4) e v_2=(-3,2,5), obtemos
r(s,t) = (0,-1,5) + s\,(2,1,4) + t\,(-3,2,5).
Em componentes:
\begin{cases} x(s,t) = 0 + 2s - 3t,\\\ y(s,t) = -1 + 1\cdot s + 2t,\\\ z(s,t) = 5 + 4s + 5t. \end{cases}

Resposta

Uma parametrização do plano é
\boxed{r(s,t) = (\,2s - 3t,\;-1 + s + 2t,\;5 + 4s + 5t\,),\quad s,t\in\mathbb{R}.}

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