Determine uma representação parametrizada para a superfície.
O plano que passa pela origem que contém os vetores i-j e j - k.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar uma representação parametrizada de um plano que passa pela origem e contém os vetores i - j e j - k. Aqui, estamos trabalhando com o conteúdo de geometria analítica, especificamente com representações paramétricas de superfícies. Para resolver isso, vamos precisar usar dois vetores que estão no plano e saber que ele passa pela origem.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como escrevemos uma equação parametrizada de um plano. Geralmente, você precisa de um ponto inicial no plano e de dois vetores que apontam dentro do plano. A equação fica assim:
r(s, t) = r0 + sv1 + tv2
Onde:
  • r0 é o ponto inicial (neste caso, a origem (0, 0, 0)),
  • v1 e v2 são os vetores que estão no plano,
  • s e t são os parâmetros.

Passo 3

Como o plano passa pela origem, nosso ponto inicial r0 é (0, 0, 0). Os vetores dados são v1 = i - j e v2 = j - k. Vamos transformar esses vetores em coordenadas:
v1 = (1, -1, 0)
v2 = (0, 1, -1)

Passo 4

Agora, substituímos tudo na fórmula da equação parametrizada:
r(s, t) = (0, 0, 0) + s(1, -1, 0) + t(0, 1, -1)
Isso significa:
r(s, t) = (s, -s + t, -t)

Resposta

A representação parametrizada do plano é:
r(s, t) = (s, -s + t, -t)
Onde s e t são parâmetros reais.

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