Passo 1
Vamos resolver a integral $ \int \cos(x) \sin^{2}(x) , dx $. Esse exercício envolve o cálculo de integrais, especificamente utilizando a técnica de substituição. Para resolver, vamos precisar entender como simplificar expressões trigonométricas e aplicar a regra da substituição em integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que podemos substituir para simplificar a resolução. Observamos que temos $ \cos(x) $ multiplicando $ \sin^{2}(x) $. Sabemos que a derivada de $ \sin(x) $ é $ \cos(x) $, o que sugere que podemos usar uma substituição.
Passo 3
Vamos definir uma nova variável $ u $ como sendo $ u = \sin(x) $. Dessa forma, a derivada de $ u $ com relação a $ x $ é:
Isso implica que:
Passo 4
Agora, substituímos $ \sin(x) $ por $ u $ e $ \cos(x) , dx $ por $ du $ na integral original:
Passo 5
A integral $ \int u^{2} , du $ é mais simples de calcular. Usando a regra básica da integração de potências, sabemos que:
Aplicando isso para $ n = 2 $:
Passo 6
Agora, substituímos $ u $ de volta por $ \sin(x) $ para retornar à variável original $ x $: