Determine uma representação em série de potências para cada uma das seguintes funções f, tentando indicar, em cada caso, o maior intervalo aberto onde tal representação é válida.
f(x)=ln 1-x1+x.

Passo 1

Nesse exercício, queremos encontrar a série de potências de f(x)=ln1-x1+x. O assunto é expansão de Taylor/Maclaurin para logaritmos, e vamos precisar das séries conhecidas de ln(1+u) e ln(1-u) válidas quando |u|<1.

Passo 2

Recordando as expansões:
ln(1+u)=sumn=1^infty(-1)^n-1u^nn, ln(1-u)=-sumn=1^inftyu^nn,
ambas válidas para |u|<1.

Passo 3

Repare que podemos escrever:
f(x)=ln1-x1+x=ln(1-x)-ln(1+x)
Então basta usar u=x nas duas séries acima.

Passo 4

Substituindo, temos:
ln(1-x)=-sumn=1^inftyx^nn, ln(1+x)=sumn=1^infty(-1)^n-1x^nn
Logo
f(x)=-sumn=1^inftyx^nn-sumn=1^infty(-1)^n-1x^nn

Passo 5

Agora, somando termo a termo, o coeficiente de x^n fica:
-1n-(-1)^n-11n=-1+(-1)^n-1n
Quando n é par isso dá zero (os pares desaparecem) e quando n=2k+1 -2/(2k+1). Assim só aparecem potências ímpares com esse coeficiente.

Resposta

f(x)=-2sumk=0^inftyx^2k+12k+1, válido para |x|<1 (intervalo de convergência (-1,1)).

Exercícios relacionados