Determine uma representação em série de potências para cada uma das seguintes funções
, tentando indicar, em cada caso, o maior intervalo aberto onde tal representação é válida.
.
Passo 1
Nesse exercício, queremos encontrar a série de potências de
. O assunto é expansão de Taylor/Maclaurin para logaritmos, e vamos precisar das séries conhecidas de
e
válidas quando
.
Passo 2
Recordando as expansões:
ambas válidas para
.
Passo 3
Repare que podemos escrever:
Então basta usar
nas duas séries acima.
Passo 4
Substituindo, temos:
Logo
Passo 5
Agora, somando termo a termo, o coeficiente de
fica:
Quando
é par isso dá zero (os pares desaparecem) e quando
dá
. Assim só aparecem potências ímpares com esse coeficiente.