Determine uma representação em série de potências para cada uma das seguintes funções f, tentando indicar, em cada caso, o maior intervalo aberto onde tal representação é válida.
f(x)=ln (1-x^2).

Passo 1

O enunciado pede a expansão em série de potências de f(x)=ln(1-x^2), que é um caso de série de Taylor (Maclaurin) usando a fórmula de ln(1+u). Vamos precisar lembrar a expansão padrão de ln(1+u) e depois fazer a substituição adequada.

Passo 2

A fórmula básica é a expansão de Maclaurin de ln(1+u):
ln(1+u)=sumn=1^infty(-1)^n-1u^nn,válida para |u|<1 á

Passo 3

No nosso caso, basta tomar u=-x^2. Substituindo na série, temos:
ln(1-x^2)=ln(1+u)|u=-x^2=sumn=1^infty(-1)^n-1(-x^2)^nn

Passo 4

Agora simplificamos o sinal: note que (-1)^n-1(-1)^n=(-1)^2n-1=-1. Logo,
ln(1-x^2)=-sumn=1^inftyx^2nn

Passo 5

Escrevendo de forma explícita, a série fica
ln(1-x^2)=-(x^2+tfracx^42+tfracx^63+cdots),
que converge para |x|<1, esse sendo o maior intervalo aberto de validade.

Resposta

ln(1-x^2)=-sumn=1^inftyx^2nn,válido em (-1,1)á

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