Determine uma representação em série de potências para cada uma das seguintes funções , tentando indicar, em cada caso, o maior intervalo aberto onde tal representação é válida. .
Passo 1
O enunciado pede a expansão em série de potências de , que é um caso de série de Taylor (Maclaurin) usando a fórmula de . Vamos precisar lembrar a expansão padrão de e depois fazer a substituição adequada.
Passo 2
A fórmula básica é a expansão de Maclaurin de :
Passo 3
No nosso caso, basta tomar . Substituindo na série, temos:
Passo 4
Agora simplificamos o sinal: note que (-1)^n-1(-1)^n=(-1)^2n-1=-1. Logo,
ln(1-x^2)=-sumn=1^inftyx^2nn
Passo 5
Escrevendo de forma explícita, a série fica
ln(1-x^2)=-(x^2+tfracx^42+tfracx^63+cdots),
que converge para |x|<1, esse sendo o maior intervalo aberto de validade.