Determine uma representação em série de potências para a integral dada e determine o seu raio de convergência.
integral0^x e^-t^2 d t
integral0^x e^-t^2 d t=sumn=0^+infty(-1)^n x^2 n+1n!(2 n+1), x in R, R=+infty

Passo 1

O exercício pede a expansão em série de potências de integral0^x e^-t^2,dt (uma função ligada à função erro) e também o raio de convergência dessa série.

Passo 2

Começamos pela expansão de Taylor de e^-t^2 em torno de zero. Como e^u=sumn=0^inftyu^nn!, basta tomar u=-t^2. Assim,
e^-t^2=sumn=0^infty(-1)^nn!t^2n

Passo 3

Agora integramos termo a termo de zero a x. Cada termo t^2n dá ao integrar
integral0^x t^2n,dt=x^2n+12n+1

Passo 4

Logo o resultado é
integral0^x e^-t^2,dt=sumn=0^infty(-1)^nx^2n+1n!,(2n+1)

Passo 5

Para achar o raio de convergência, aplicamos o teste da razão ao termo geral an=(-1)^n x^2n+1/(n!,(2n+1)). Observando que n! cresce mais rápido que qualquer potência, obtemos raio infinito.
Portanto a série converge para todo xinR.

Resposta

integral0^x e^-t^2,dt=sumn=0^infty(-1)^nx^2n+1n!,(2n+1), R=+infty

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