Obtenha uma representação em série de potências em torno de
(dado abaixo) para as funções, abaixo, e determine o intervalo de convergência de cada uma.
,
;
Passo 1
O enunciado pede a série de potências (Maclaurin) de f(x)=2/(1–x)^3 em torno de a=0 e o intervalo de convergência; vamos usar diferenciação de séries geométricas para obter isso.
Passo 2
Começamos com a série geométrica básica:
Diferenciando termo a termo obtemos
Passo 3
Agora note que
Como f(x)=2/(1–x)^3, f(x) é exatamente essa derivada. Diferenciando a série
Passo 4
Reindexando para obter potência x^m com m=n–1, isto é, n=m+1, temos
Passo 5
O intervalo de convergência é o mesmo da série geométrica original e não muda por diferenciação, logo:
Resposta
A série de potências é