Obtenha uma representação em série de potências em torno de a (dado abaixo) para as funções, abaixo, e determine o intervalo de convergência de cada uma.
f(x)=2(1-x)^3,
a=0;

Passo 1

O enunciado pede a série de potências (Maclaurin) de f(x)=2/(1–x)^3 em torno de a=0 e o intervalo de convergência; vamos usar diferenciação de séries geométricas para obter isso.

Passo 2

Começamos com a série geométrica básica:
11 - x = sumn=0^infty x^n, |x| < 1
Diferenciando termo a termo obtemos
ddxl(11 - xr) = 1(1 - x)^2 = sumn=0^infty n x^n-1 = sumn=0^infty (n+1)x^n

Passo 3

Agora note que
ddxl(1(1 - x)^2r) = 21(1 - x)^3
Como f(x)=2/(1–x)^3, f(x) é exatamente essa derivada. Diferenciando a série sumn=0^infty (n+1)x^n termo a termo:
f(x) = sumn=0^infty (n+1) n ;x^n-1

Passo 4

Reindexando para obter potência x^m com m=n–1, isto é, n=m+1, temos
f(x)=summ=0^infty(m+2)(m+1)x^m

Passo 5

O intervalo de convergência é o mesmo da série geométrica original e não muda por diferenciação, logo:
|x|<1

Resposta

A série de potências é
2(1 - x)^3 = sumn=0^infty (n+2)(n+1)x^n, |x|<1

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