Expresse cada um dos conjuntos abaixo em notação de intervalo:
(i) x in R / 4 x-3<6 x+2.
(ii) x in R /|2 x-3| <= 1.
(iii) x in R /|x|<1.
(iv) x in R / 3 x+1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente expressar alguns conjuntos usando notação de intervalo. Isso faz parte do conteúdo de Análise de Inequações. Para resolver, vamos precisar saber como manipular desigualdades e entender o que é uma notação de intervalo.

Passo 2

Vamos começar com a primeira parte:

(i) x in R , | , 4x - 3 < 6x + 2

Primeiro, vamos resolver a desigualdade 4x - 3 < 6x + 2.
  1. Isolar o x:
    4x - 6x < 2 + 3
    -2x < 5
  2. Resolver para x:
    Ao dividir ambos os lados por -2, lembre-se que a desigualdade inverte o sinal:
    x > -52
  3. Expressar em notação de intervalo:
    Como x é maior que -52, o intervalo é:
    (-52, infty)

Passo 3

Agora, vamos para a segunda parte:

(ii) x in R , | , |2x - 3| <= 1

Aqui, estamos lidando com um valor absoluto. A expressão |2x - 3| <= 1 significa que 2x - 3 está entre -1 e 1.
  1. Escrever a desigualdade sem valor absoluto:
    -1 <= 2x - 3 <= 1
  2. Isolar o x:
    Primeiro, vamos adicionar 3 em todas as partes:
    2 <= 2x <= 4
    Em seguida, dividir por 2:
    1 <= x <= 2
  3. Expressar em notação de intervalo:
    x está entre 1 e 2, inclusive:
    [1, 2]

Passo 4

Vamos para a terceira parte:

(iii) x in R , | , |x| < 1

Novamente, temos uma desigualdade com valor absoluto.
  1. Entender o que |x| < 1 significa:
    Significa que x está entre -1 e 1.
  2. Escrever a desigualdade sem valor absoluto:
    -1 < x < 1
  3. Expressar em notação de intervalo:
    (-1, 1)

Passo 5

E por último, a quarta parte:

(iv) x in R , | , 3x + 1 < x3

Vamos resolver a desigualdade 3x + 1 < x3.
  1. Multiplicar todos os termos por 3 para eliminar a fração:
    9x + 3 < x
  2. Isolar o x:
    9x - x < -3
    8x < -3
  3. Resolver para x:
    x < -38
  4. Expressar em notação de intervalo:
    (-infty, -38)

Resposta

As expressões dos conjuntos em notação de intervalo são:
(i) (-52, infty)
(ii) [1, 2]
(iii) (-1, 1)
(iv) (-infty, -38)

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