Use o teste da derivada segunda para classificar os pontos críticos das funções
h(x, y)=x^4 y^2+x+y

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que usar o teste da derivada segunda para classificar os pontos críticos da função $ h(x, y) = x^{4} y^{2} + x + y $. Isso faz parte do estudo de cálculo multivariável, onde analisamos como uma função muda em relação a várias variáveis ao mesmo tempo. Para resolver isso, vamos precisar encontrar onde as derivadas parciais da função são zero (os pontos críticos) e então usar as derivadas segundas para entender o tipo desses pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Isso significa achar os valores de $ x $ e $ y $ onde as derivadas parciais de $ h $ em relação a $ x $ e $ y $ são iguais a zero.
Computamos as derivadas parciais:
x
y
Agora, vamos igualar cada derivada a zero:
h
x

Passo 3

Vamos resolver o sistema de equações para encontrar $ x $ e $ y $.
Da equação (2):
x
Agora, substituímos esse valor de $ y $ na equação (1):
y
2x^4y = -1 Rightarrow y = -12x^4
y
4x^3(-12x^4)^2 + 1 = 0
Agora que temos $ x = -1 $, vamos encontrar $ y $:
4x^3 cdot 14x^8 + 1 = 0
Então, o ponto crítico é $ (-1, -\frac{1}{2}) $.

Passo 4

Agora, vamos usar o teste da derivada segunda para classificar esse ponto crítico. Para isso, precisamos calcular as derivadas segundas da função:
hxx = partial^2 hpartial x^2 = 12x^2y^2
hxy = partial^2 hpartial x partial y = 8x^3y
hyy = partial^2 hpartial y^2 = 2x^4
Avaliar essas derivadas no ponto $ (-1, -\frac{1}{2}) $:
(-1, -12)
hxx(-1, -12) = 12(-1)^2(-12)^2 = 12 cdot 1 cdot 14 = 3
hxy(-1, -12) = 8(-1)^3(-12) = 8(-1)(-12) = 4
Agora, calculamos o determinante da matriz Hessiana (D):
hyy(-1, -12) = 2(-1)^4 = 2 cdot 1 = 2

Passo 5

Interpretando o resultado:
  • Se $ D > 0 $ e $ h_{xx} > 0 $: mínimo local
  • Se $ D > 0 $ e $ h_{xx} < 0 $: máximo local
  • Se $ D < 0 $: ponto de sela
  • Se $ D = 0 $: teste inconclusivo
No nosso caso, $ D = -10 < 0 $. Então, o ponto crítico $ (-1, -\frac{1}{2}) $ é um ponto de sela.

Resposta

O ponto crítico $ (-1, -\frac{1}{2}) $ é um ponto de sela da função $ h(x, y) $.

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