Use o teste da derivada segunda para classificar os pontos críticos das funções
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que usar o teste da derivada segunda para classificar os pontos críticos da função $ h(x, y) = x^{4} y^{2} + x + y $. Isso faz parte do estudo de cálculo multivariável, onde analisamos como uma função muda em relação a várias variáveis ao mesmo tempo. Para resolver isso, vamos precisar encontrar onde as derivadas parciais da função são zero (os pontos críticos) e então usar as derivadas segundas para entender o tipo desses pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Isso significa achar os valores de $ x $ e $ y $ onde as derivadas parciais de $ h $ em relação a $ x $ e $ y $ são iguais a zero.
Computamos as derivadas parciais:
Agora, vamos igualar cada derivada a zero:
Passo 3
Vamos resolver o sistema de equações para encontrar $ x $ e $ y $.
Da equação (2):
Agora, substituímos esse valor de $ y $ na equação (1):
Agora que temos $ x = -1 $, vamos encontrar $ y $:
Então, o ponto crítico é $ (-1, -\frac{1}{2}) $.
Passo 4
Agora, vamos usar o teste da derivada segunda para classificar esse ponto crítico. Para isso, precisamos calcular as derivadas segundas da função:
Avaliar essas derivadas no ponto $ (-1, -\frac{1}{2}) $:
Agora, calculamos o determinante da matriz Hessiana (D):
Passo 5
Interpretando o resultado:
- Se $ D > 0 $ e $ h_{xx} > 0 $: mínimo local
- Se $ D > 0 $ e $ h_{xx} < 0 $: máximo local
- Se $ D < 0 $: ponto de sela
- Se $ D = 0 $: teste inconclusivo
No nosso caso, $ D = -10 < 0 $. Então, o ponto crítico $ (-1, -\frac{1}{2}) $ é um ponto de sela.
Resposta
O ponto crítico $ (-1, -\frac{1}{2}) $ é um ponto de sela da função $ h(x, y) $.