Determine a representação em série de potências das seguintes funções e identifique seu intervalo de convergência:
f(x)=x^21+9 x^2

Passo 1

O enunciado pede a série de potências de dfracx^21+9x^2 em torno de zero, ou seja, escrever
x^21+9x^2=sumn=0^infty an x^n
e determinar seu intervalo de convergência. O conteúdo fundamental aqui é a série geométrica.

Passo 2

Reescrevemos a função de modo a expor a forma geométrica:
x^21+9x^2 = x^2;11-(-9x^2)
Reconhecemos a expansão
11-r=sumn=0^infty r^n, |r|<1,
com r=-9x^2.

Passo 3

Aplicando a série geométrica a r=-9x^2, obtemos
11-(-9x^2) = sumn=0^infty(-9x^2)^n = sumn=0^infty(-1)^n,9^n,x^2n
Multiplicando por x^2, a expansão final é
x^21+9x^2 = sumn=0^infty(-1)^n,9^n,x^2n+2

Passo 4

Para garantir convergência da série geométrica precisamos de
|-9x^2|<1 ;Longrightarrow; |x|<tfrac13
Nos pontos x=pmtfrac13 a série não converge, pois vira sum(-1)^n de termos constantes.

Resposta

A série de potências é
x^21+9x^2 = sumn=0^infty(-1)^n,9^n,x^2n+2,
e o intervalo de convergência é
-tfrac13<x<tfrac13

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