Determine a representação em série de potências das seguintes funções e identifique seu intervalo de convergência:
Passo 1
O enunciado pede a série de potências de
em torno de zero, ou seja, escrever
e determinar seu intervalo de convergência. O conteúdo fundamental aqui é a série geométrica.
Passo 2
Reescrevemos a função de modo a expor a forma geométrica:
Reconhecemos a expansão
com
.
Passo 3
Aplicando a série geométrica a
, obtemos
Multiplicando por
, a expansão final é
Passo 4
Para garantir convergência da série geométrica precisamos de
Nos pontos
a série não converge, pois vira
de termos constantes.
Resposta
A série de potências é
e o intervalo de convergência é