Determine e represente graficamente o domínio da seguinte função:
z=ln (x^2+y^2-1x)

Passo 1

O enunciado pede o domínio da função z=ln((x²+y²−1)/x), ou seja, precisamos encontrar todos os pares (x,y) para os quais essa expressão está bem definida. O conteúdo envolvido é domínio de função com logaritmo e desigualdade de quociente.

Passo 2

Para que o logaritmo natural esteja definido, é preciso que o argumento seja estritamente positivo. Além disso, não podemos ter divisão por zero. Logo, devemos impor: (x²+y²−1)/x>0 e x≠0.

Passo 3

A desigualdade (x²+y²−1)/x>0 vale quando numerador e denominador têm o mesmo sinal. Assim, temos dois casos:
  1. x²+y²−1>0 e x>0
  2. x²+y²−1<0 e x<0

Passo 4

No primeiro caso, x²+y²−1>0 equivale a x²+y²>1 (região exterior ao círculo unitário) e x>0 (semieixo x positivo). No segundo caso, x²+y²−1<0 equivale a x²+y²<1 (interior do círculo unitário) e x<0 (semieixo x negativo).

Passo 5

Portanto o domínio é a união dessas duas regiões, excluindo-se a fronteira do círculo (x²+y²=1) e a reta x=0. Graficamente, sombreia-se:
a) Fora do círculo unitário à direita do eixo y;
b) Dentro do círculo unitário à esquerda do eixo y.

Resposta

D=(x,y)inR^2: x>0,;x^2+y^2>1;cup;(x,y)inR^2: x<0,;x^2+y^2<1

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