Determine e represente graficamente o domínio da seguinte função:
Passo 1
O enunciado pede o domínio da função z=ln((x²+y²−1)/x), ou seja, precisamos encontrar todos os pares (x,y) para os quais essa expressão está bem definida. O conteúdo envolvido é domínio de função com logaritmo e desigualdade de quociente.
Passo 2
Para que o logaritmo natural esteja definido, é preciso que o argumento seja estritamente positivo. Além disso, não podemos ter divisão por zero. Logo, devemos impor: (x²+y²−1)/x>0 e x≠0.
Passo 3
A desigualdade (x²+y²−1)/x>0 vale quando numerador e denominador têm o mesmo sinal. Assim, temos dois casos:
- x²+y²−1>0 e x>0
- x²+y²−1<0 e x<0
Passo 4
No primeiro caso, x²+y²−1>0 equivale a x²+y²>1 (região exterior ao círculo unitário) e x>0 (semieixo x positivo). No segundo caso, x²+y²−1<0 equivale a x²+y²<1 (interior do círculo unitário) e x<0 (semieixo x negativo).
Passo 5
Portanto o domínio é a união dessas duas regiões, excluindo-se a fronteira do círculo (x²+y²=1) e a reta x=0. Graficamente, sombreia-se:
a) Fora do círculo unitário à direita do eixo y;
b) Dentro do círculo unitário à esquerda do eixo y.
a) Fora do círculo unitário à direita do eixo y;
b) Dentro do círculo unitário à esquerda do eixo y.