Questão 2. (1,5 pontos) Considere atentamente as afirmações a seguir.
i. Se f:[a, b] [a, b] é contínua, então o gráfico de f intercepta a diagonal do plano cartesiano.
ii. lim x a^- tg(x)=-infty para todo a=pi2+k pi, com k in Z.
iii. Se lim x a f(x)=+infty e lim x a g(x)=-infty, então lim x a f(x) g(x)=-infty.
A seguir, marque com X a sentença que expressa o julgamento correto referente aos itens i, ii e iii:
O único item falso é ii.

Passo 1

O enunciado pede para julgar se as afirmações i, ii e iii são verdadeiras ou falsas e, em seguida, verificar se a sentença “O único item falso é ii.” está correta.

Passo 2

Para i: definimos a função auxiliar h(x)=f(x)-x. Como f:[a,b]to[a,b], temos h(a)=f(a)-a>=0 e h(b)=f(b)-b<=0. Pelo Teorema do Valor Intermediário, existe cin[a,b] tal que h(c)=0, ou seja, f(c)=c. Logo, o gráfico de f intercepta a diagonal. Assim, i é verdadeira.

Passo 3

Para ii: as assíntotas verticais de tan x ocorrem em x=a=pi2+kpi. Ao nos aproximarmos por valores menores que a, tan xto+infty, não -infty. Portanto, a afirmação ii está incorreta.

Passo 4

Para iii: se f(x)to+infty e g(x)to-infty quando xto a, então para x suficientemente próximo de a, f(x)>0 e g(x)<0. Logo, f(x)g(x)<0 e |f(x)g(x)|=f(x)cdot|g(x)|to+infty. Isso mostra f(x)g(x)to-infty, e iii é verdadeira.

Resposta

A sentença “O único item falso é ii.” está correta.

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