Questão 6. (Extra dissertativa: 2 pontos) Usando as propriedades operatórias de limites, mostre que para quaisquer a in R e n in N temos lim x a x^n-a^nx-a=n cdot a^n-1. Dica: para quaisquer x, y in R e n in N é verdadeira a expressão x^n-y^n=(x-y)(x^n-1+x^n-2 y+ldots+x y^n-2+y^n-1).

Passo 1

Estamos tentando calcular o limite limx to a x^n - a^nx - a. O conteúdo envolvido é o cálculo de limite de uma razão que lembra a derivada de uma potência. Para resolver, vamos usar a identidade de fatoração dada e as propriedades de limites (limite de soma, produto e continuidade de polinômios).

Passo 2

Usando a dica, escrevemos a diferença de potências como
x^n - a^n = (x - a)l(x^n-1 + x^n-2a + cdots + xa^n-2 + a^n-1r)
Substituindo no quociente, obtemos
x^n - a^nx - a = x^n-1 + x^n-2a + cdots + xa^n-2 + a^n-1

Passo 3

Aqui já simplificamos o fator (x - a). Agora aplicamos a propriedade de limite de soma: o limite de uma soma é a soma dos limites, e cada termo é um produto de potências de x e de a. Como polinômios são funções contínuas, temos limx to a x^k = a^k para qualquer k. Logo, ao aplicar o limite em cada termo,
limx to a x^n-1 = a^n-1, limx to a x^n-2a = a^n-2a, …, limx to a xa^n-2 = a a^n-2 e limx to a a^n-1 = a^n-1.
Cada um desses limites vale a^n-1.

Passo 4

Somando n vezes a^n-1, concluímos que
limx to a x^n - a^nx - a = n ; a^n-1

Resposta

n ; a^n-1

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