Questão 6. (Extra dissertativa: 2 pontos) Usando as propriedades operatórias de limites, mostre que para quaisquer
e
temos
. Dica: para quaisquer
e
é verdadeira a expressão
.
Passo 1
Estamos tentando calcular o limite
. O conteúdo envolvido é o cálculo de limite de uma razão que lembra a derivada de uma potência. Para resolver, vamos usar a identidade de fatoração dada e as propriedades de limites (limite de soma, produto e continuidade de polinômios).
Passo 2
Usando a dica, escrevemos a diferença de potências como
Substituindo no quociente, obtemos
Passo 3
Aqui já simplificamos o fator
. Agora aplicamos a propriedade de limite de soma: o limite de uma soma é a soma dos limites, e cada termo é um produto de potências de
e de
. Como polinômios são funções contínuas, temos
para qualquer
. Logo, ao aplicar o limite em cada termo,
,
, …,
e
.
Cada um desses limites vale .
Cada um desses limites vale
Passo 4
Somando
vezes
, concluímos que