Determine os resíduos nos pontos singulares isolados das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede: "Determine os resíduos nos pontos singulares isolados da função
".
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A função é
. - Pontos singulares isolados são pontos onde o denominador
se anula (desde que não haja cancelamento com o numerador). - Precisamos encontrar o resíduo de
em cada um desses pontos singulares isolados.
Passo 2
O que é resíduo e como calculá-lo (explicação didática):
- Para uma função meromorfa (como uma razão de polinômios) com um pólo simples em
, o resíduo em é o coeficiente do termo na expansão de Laurent de ao redor de . - Existe uma fórmula simples e prática: se
com e holomorfas perto de , e (ou seja, é um pólo simples), então
- Rápida justificativa da fórmula: escrevendo
com , temos
logo o coeficiente de
é
.
Passo 3
Identificação dos pontos singulares isolados de
:
- O denominador é
. Colocando igual a zero:
- Então os possíveis pontos singulares são
e . - Verificamos que não há cancelamento com o numerador
(o numerador não se anula simultaneamente com o denominador em ambos os pontos), portanto são singularidades reais da função. - Para saber o tipo: escrevemos
. A derivada do denominador é . Em temos ; em temos . Logo ambos são pólos simples (pólos de ordem 1), ou seja, as hipóteses da fórmula do passo anterior valem.
Passo 4
Cálculo dos resíduos usando a fórmula para pólo simples:
- Escrevemos
com e . Então . - Resíduo em
:
(Neste passo simplificamos
cancelando
.)
- Resíduo em
:
(De novo cancela-se
nos numerador e denominador, dando
.)
Passo 5
Verificação alternativa rápida por decomposição em frações parciais (checa a intuição):
- Podemos escrever
Multiplicando por
obtemos
. Igualando coeficientes dá
e
. Assim
. Os coeficientes
e
são exatamente os resíduos em
e
, confirmando
para ambos.
Resposta
Resíduo em
:
Resíduo em :
Resíduo em