Determine os resíduos nos pontos singulares isolados das seguintes funções:
f(z)=\frac{z}{z^{2}+1}

Passo 1

O enunciado pede: "Determine os resíduos nos pontos singulares isolados da função f(z)=\frac{z}{z^{2}+1}".
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A função é f(z)=\frac{z}{z^{2}+1}.
  • Pontos singulares isolados são pontos onde o denominador z^{2}+1 se anula (desde que não haja cancelamento com o numerador).
  • Precisamos encontrar o resíduo de f em cada um desses pontos singulares isolados.

Passo 2

O que é resíduo e como calculá-lo (explicação didática):
  • Para uma função meromorfa (como uma razão de polinômios) com um pólo simples em z_{0}, o resíduo em z_{0} é o coeficiente do termo \frac{1}{z-z_{0}} na expansão de Laurent de f ao redor de z_{0}.
  • Existe uma fórmula simples e prática: se f(z)=\frac{g(z)}{h(z)} com g e h holomorfas perto de z_{0}, h(z_{0})=0 e h'(z_{0})\neq0 (ou seja, z_{0} é um pólo simples), então
\operatorname{Res}(f,z_{0})=\frac{g(z_{0})}{h'(z_{0})}.
  • Rápida justificativa da fórmula: escrevendo h(z)=(z-z_{0})\cdot\tilde h(z) com \tilde h(z_{0})=h'(z_{0}), temos
f(z)=\frac{g(z)}{(z-z_{0})\tilde h(z)}=\frac{g(z_{0})}{\tilde h(z_{0})}\cdot\frac{1}{z-z_{0}}+\text{termos analíticos},í
logo o coeficiente de \frac{1}{z-z_{0}} é \dfrac{g(z_{0})}{\tilde h(z_{0})}=\dfrac{g(z_{0})}{h'(z_{0})}.

Passo 3

Identificação dos pontos singulares isolados de f:
  • O denominador é z^{2}+1. Colocando igual a zero:
z^{2}+1=0 \quad\Longrightarrow\quad z^{2}=-1 \quad\Longrightarrow\quad z=\mathrm{i}\\ \text{ ou }\\ z=-\mathrm{i}.
  • Então os possíveis pontos singulares são z=\mathrm{i} e z=-\mathrm{i}.
  • Verificamos que não há cancelamento com o numerador z (o numerador não se anula simultaneamente com o denominador em ambos os pontos), portanto são singularidades reais da função.
  • Para saber o tipo: escrevemos z^{2}+1=(z-\mathrm{i})(z+\mathrm{i}). A derivada do denominador h(z)=z^{2}+1 é h'(z)=2z. Em z=\mathrm{i} temos h'(\mathrm{i})=2\mathrm{i}\neq0; em z=-\mathrm{i} temos h'(-\mathrm{i})=-2\mathrm{i}\neq0. Logo ambos são pólos simples (pólos de ordem 1), ou seja, as hipóteses da fórmula do passo anterior valem.

Passo 4

Cálculo dos resíduos usando a fórmula para pólo simples:
  • Escrevemos f(z)=\dfrac{g(z)}{h(z)} com g(z)=z e h(z)=z^{2}+1. Então h'(z)=2z.
  • Resíduo em z_{0}=\mathrm{i}:
\operatorname{Res}\bigl(f,\mathrm{i}\bigr)=\frac{g(\mathrm{i})}{h'(\mathrm{i})}=\frac{\mathrm{i}}{2\mathrm{i}}=\frac{1}{2}.
(Neste passo simplificamos \frac{\mathrm{i}}{2\mathrm{i}}=\frac{1}{2} cancelando \mathrm{i}.)
  • Resíduo em z_{0}=-\mathrm{i}:
\operatorname{Res}\bigl(f,-\mathrm{i}\bigr)=\frac{g(-\mathrm{i})}{h'(-\mathrm{i})}=\frac{-\mathrm{i}}{-2\mathrm{i}}=\frac{1}{2}.
(De novo cancela-se -\mathrm{i} nos numerador e denominador, dando \tfrac{1}{2}.)

Passo 5

Verificação alternativa rápida por decomposição em frações parciais (checa a intuição):
  • Podemos escrever
\frac{z}{z^{2}+1}=\frac{A}{z-\mathrm{i}}+\frac{B}{z+\mathrm{i}}.
Multiplicando por z^{2}+1 obtemos z=A(z+\mathrm{i})+B(z-\mathrm{i}). Igualando coeficientes dá A+B=1 e (A-B)\mathrm{i}=0\Rightarrow A=B. Assim A=B=\tfrac{1}{2}. Os coeficientes A e B são exatamente os resíduos em \mathrm{i} e -\mathrm{i}, confirmando \tfrac{1}{2} para ambos.

Resposta

Resíduo em z=\mathrm{i}: \frac{1}{2}
Resíduo em z=-\mathrm{i}: \frac{1}{2}

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