Determine, sem resolver, o maior intervalo no qual existe solução para o PVI:
l (x-2) y^prime prime+3 y=x y(0)=0 e y^prime(0)=1

Passo 1

O exercício pede pra gente achar o maior intervalo em que a solução do PVI existe, sem precisar resolver de fato. O conteúdo aqui é o teorema de existência e unicidade para EDOs lineares de segunda ordem. Vamos precisar verificar onde os coeficientes e o termo não homogêneo são contínuos.

Passo 2

Primeiro, colocamos a EDO na forma padrão y'' + p(x)y' + q(x)y = g(x). Dividindo tudo por x-2 (que multiplica y'') obtemos
y'' + 0cdot y' + 3x-2y = xx-2
Aqui identificamos p(x)=0, q(x)=3/(x-2) e g(x)=x/(x-2).

Passo 3

Em seguida, lembramos que o teorema de existência e unicidade garante solução sempre que p(x), q(x) e g(x) forem contínuos. Note que q(x) e g(x) têm descontinuidade em x=2.

Passo 4

Por fim, como as condições iniciais estão em x0=0, o intervalo máximo que contém 0 e não cruza a singularidade em 2 é (-infty,2). Assim, é nesse intervalo que a solução existe e é única.

Resposta

(-\infty,2)

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