Determine, sem resolver, o maior intervalo no qual existe solução para o PVI:
Passo 1
O exercício pede pra gente achar o maior intervalo em que a solução do PVI existe, sem precisar resolver de fato. O conteúdo aqui é o teorema de existência e unicidade para EDOs lineares de segunda ordem. Vamos precisar verificar onde os coeficientes e o termo não homogêneo são contínuos.
Passo 2
Primeiro, colocamos a EDO na forma padrão
. Dividindo tudo por
(que multiplica
) obtemos
Aqui identificamos
Passo 3
Em seguida, lembramos que o teorema de existência e unicidade garante solução sempre que
,
e
forem contínuos. Note que
e
têm descontinuidade em
.
Passo 4
Por fim, como as condições iniciais estão em
, o intervalo máximo que contém 0 e não cruza a singularidade em 2 é
. Assim, é nesse intervalo que a solução existe e é única.
Resposta
(-\infty,2)