Obtenha a solução explícita para a seguinte equação diferencial:
ld yd x-cos x cdot y=x e^x^2+sen x y(0)=2

Passo 1

Tranquilo, resumindo: a gente quer resolver a equação diferencial
dydx-cos x,y = x,e^x^2 + sin x
com condição inicial y(0)=2. Isso é uma equação diferencial linear de 1ª ordem. O pulo do gato é usar o método do fator integrante, que vai transformar o lado esquerdo num derivado de produto e facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, coloca a ED no formato padrão
y' + P(x),y = Q(x)
Aqui identificamos
P(x) = -cos x, Q(x) = x,e^x^2+sin x
O fator integrante é
mu(x) = e^integral P(x),dx = e^integral -cos x,dx = e^-sin x
A ideia é que, multiplicando toda a equação por mu(x), o lado esquerdo vire
ddx[mu(x),y].

Passo 3

Multiplica a equação original por mu(x)=e^-sin x:
e^-sin xy' ;-;cos x,e^-sin xy ;=; x,e^x^2+sin x,e^-sin x ;=; x,e^x^2
No lado esquerdo a gente reconhece
ddxl[e^-sin xyr] = e^-sin xy' - cos x,e^-sin xy
Logo a equação fica
ddxl[e^-sin xyr] = x,e^x^2
Agora integra dos dois lados:
e^-sin xy = integral x,e^x^2,dx + C
Para integral x,e^x^2dx, faz u=x^2, du=2x,dx, daí
integral x,e^x^2dx = tfrac12integral e^u,du = tfrac12,e^u = tfrac12,e^x^2
Então concluímos
e^-sin xy = tfrac12,e^x^2 + C

Passo 4

Agora aplica a condição inicial y(0)=2. Em x=0 temos sin0=0, e^-sin0=1, logo
1cdot 2 = tfrac12,e^0 + C ;Longrightarrow; 2 = tfrac12 + C ;Longrightarrow; C = tfrac32

Passo 5

Substitui C e isola y:
e^-sin xy = tfrac12,e^x^2 + tfrac32 Longrightarrow y = e^sin xl(tfrac12,e^x^2 + tfrac32r) = tfrac12,e^x^2 + sin x + tfrac32,e^sin x

Resposta

boxedy(x) = 12,e^x^2 + sin x ;+;32,e^sin x,

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