Seja
. Resolva o problema de valor inicial
onde
e
são constantes positivas.
Passo 1
O enunciado nos pede para resolver um problema de valor inicial envolvendo uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes:
Precisamos usar a técnica de equação característica e tratar raízes complexas, aplicando depois as condições iniciais para determinar as constantes da solução.
Passo 2
Escrevemos a equação característica associada à EDO:
Calculamos o discriminante:
logo temos raízes complexas conjugadas.
Passo 3
As raízes ficam
Com isso, a solução geral da EDO é
Passo 4
Para aplicar as condições iniciais, primeiro derivamos:
Em x=0 temos:
-
, -
, logo .
Passo 5
Substituindo
e
na solução geral, obtemos a solução particular que satisfaz as condições iniciais: