Seja y=y(x). Resolva o problema de valor inicial
l d^2 yd x^2-2 m d yd x+(m^2+k^2) y=0 y(0)=0, y^prime(0)=k
onde m e k são constantes positivas.

Passo 1

O enunciado nos pede para resolver um problema de valor inicial envolvendo uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes:
Precisamos usar a técnica de equação característica e tratar raízes complexas, aplicando depois as condições iniciais para determinar as constantes da solução.

Passo 2

Escrevemos a equação característica associada à EDO:
r^2 - 2m r + (m^2 + k^2) = 0
Calculamos o discriminante:
De
logo temos raízes complexas conjugadas.

Passo 3

As raízes ficam
r = 2m pm raiz-4k^22 = m pm i k
Com isso, a solução geral da EDO é
y(x) = e^mxl(Acos(kx) + Bsin(kx)r)

Passo 4

Para aplicar as condições iniciais, primeiro derivamos:
y'(x) = m e^mx(Acos(kx) + Bsin(kx)) + e^mx(-A ksin(kx) + B kcos(kx))
Em x=0 temos:
  • y(0)=A=0,
  • y'(0)=mA + kB = kB = k, logo B=1.

Passo 5

Substituindo A=0 e B=1 na solução geral, obtemos a solução particular que satisfaz as condições iniciais:

Resposta

y(x) = e^m xsin(k x)

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