Determine (sem resolver) o maior intervalo no qual a solução do PVI
l (tg x) y^prime-(sec x cdot tg^2 x) y=0, y=y(x) y(0)=pi
certamente existe.

Passo 1

O enunciado pede pra gente achar, sem resolver a equação, o maior intervalo em torno de x=0 onde a solução do PVI certamente existe. O conteúdo aqui é o Teorema de Existência e Unicidade para equações diferenciais de primeira ordem: basta colocar a EDO na forma y’=f(x,y) e verificar onde f e ∂f/∂y são contínuas.

Passo 2

Começamos escrevendo a equação dada
(tan x),y' - (sec x,tan^2 x),y = 0
e isolando y’: como queremos a forma y’=f(x,y), dividimos ambos os lados por tan x, assumindo temporariamente tan xneq0:
y' = sec x,tan^2 xtan x,y = (sec x,tan x),y

Passo 3

A função f(x,y)= sec x,tan x,y e sua derivada parcial em y, ∂f/∂y= sec x,tan x, são contínuas sempre que sec x e tan x são contínuas, ou seja, sempre que cos xneq0.

Passo 4

As singularidades de f são nos pontos onde cos x=0, isto é em x=pi/2 + kpi. O ponto inicial é x=0 e o intervalo aberto mais largo em que cos xneq0 contém 0 é
(-pi/2,,pi/2)

Resposta

(-\pi/2,,\pi/2)

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