Sejam f(x, y, z)=2 x^3 y z e v(x, y, z)=x^3 i+x z j+sin x k. Calcular:
rot(f v), usando a propriedade do produto para rotacional.

Passo 1

A ideia é usar a propriedade do rotacional: rot(fvec v)=nabla ftimes vec v + f,rotvec v. Aqui temos
rot(fvec v)
e

, e queremos .

Passo 2

Para calcular nabla f, lembramos que o gradiente é o vetor das derivadas parciais de f. Assim fazemos:
nabla f=l(partial fpartial x,,partial fpartial y,,partial fpartial zr) =l(6x^2yz,,2x^3z,,2x^3yr)

Passo 3

Para achar rotvec v=nablatimesvec v, usamos a definição por derivadas parciais:
rotvec v=l(partial vzpartial y-partial vypartial z,,partial vxpartial z-partial vzpartial x,,partial vypartial x-partial vxpartial yr) =l(-x,,-cos x,,zr)

Passo 4

Agora montamos o produto vetorial nabla ftimesvec v por determinante:
nabla ftimesvec v= vec i & vec j & vec k 6x^2yz & 2x^3z & 2x^3y x^3 & xz & sin x =l(2x^3zsin x-2x^4yz,,2x^6y-6x^2yzsin x,,6x^3yz^2-2x^6zr)

Passo 5

Em seguida, calculamos o produto escalar de f com rotvec v, ou seja f,( -x,-cos x, z):
f,rotvec v=2x^3yz,(-x,-cos x, z) =l(-2x^4yz,,-2x^3yzcos x,,2x^3yz^2r)

Passo 6

Por fim somamos as componentes de nabla ftimesvec v e de f,rotvec v para obter:
rot(fvec v)=l(2x^3zsin x-4x^4yz,,2x^6y-6x^2yzsin x-2x^3yzcos x,,8x^3yz^2-2x^6zr)

Resposta

rot(fvec v)=l(2x^3zsin x-4x^4yz,;2x^6y-6x^2yzsin x-2x^3yzcos x,;8x^3yz^2-2x^6zr)

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