Determine a resposta correta para o limite
Passo 1
Vamos resolver o limite
. Esse problema envolve conceitos de cálculo de limites de funções de duas variáveis. Para resolvê-lo, vamos analisar o comportamento da função à medida que
se aproxima de
por diferentes caminhos.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar o limite ao aproximar-se de
ao longo dos eixos coordenados.
-
Quando
: Então, o limite é 0 nessa direção. -
Quando
: Novamente, o limite é 0 nessa direção.
Passo 3
Agora, vamos analisar o limite ao nos aproximarmos de
por uma curva geral. Suponha que
, onde
é uma constante e
é um expoente que vamos determinar.
Substituindo
na função:
Simplificando:
Passo 4
Para que o limite seja bem definido, precisamos que os termos no numerador e no denominador tenham o mesmo comportamento à medida que
. Portanto, igualamos os expoentes de
:
Então, vamos definir
.
Passo 5
Substituindo
na função:
Passo 6
Observe que o resultado
depende do valor de
. Isso significa que o limite pode assumir diferentes valores dependendo do caminho escolhido para aproximar-se de
.
Passo 7
Como o limite depende do caminho seguido para chegar a
, isso indica que o limite geral não existe.
Resposta
O limite não existe.