Determine a resposta correta para o limite
lim (x, y) longrightarrow(0,0) 3 x y^4x^2+y^8

Passo 1

Vamos resolver o limite lim (x, y) longrightarrow(0,0) 3 x y^4x^2+y^8. Esse problema envolve conceitos de cálculo de limites de funções de duas variáveis. Para resolvê-lo, vamos analisar o comportamento da função à medida que (x, y) se aproxima de (0,0) por diferentes caminhos.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o limite ao aproximar-se de (0,0) ao longo dos eixos coordenados.
  • Quando y = 0:
    3x cdot 0^4x^2+0^8 = 0x^2 = 0
    Então, o limite é 0 nessa direção.
  • Quando x = 0:
    3 cdot 0 cdot y^40^2+y^8 = 0y^8 = 0
    Novamente, o limite é 0 nessa direção.

Passo 3

Agora, vamos analisar o limite ao nos aproximarmos de (0,0) por uma curva geral. Suponha que y = kx^a, onde k é uma constante e a é um expoente que vamos determinar.
Substituindo y = kx^a na função:
3x (k x^a)^4x^2 + (k x^a)^8 = 3x cdot k^4 x^4ax^2 + k^8x^8a
Simplificando:
3k^4x^1 + 4ax^2 + k^8x^8a

Passo 4

Para que o limite seja bem definido, precisamos que os termos no numerador e no denominador tenham o mesmo comportamento à medida que x to 0. Portanto, igualamos os expoentes de x:
1 + 4a = 2 Rightarrow 4a = 1 Rightarrow a = 14
Então, vamos definir y = kx^1/4.

Passo 5

Substituindo y = kx^1/4 na função:
3k^4x^1 + 4 cdot 14x^2 + k^8x^8 cdot 14 = 3k^4x^2x^2 + k^8x^2 = 3k^4x^2x^2(1 + k^8) = 3k^41 + k^8

Passo 6

Observe que o resultado 3k^41 + k^8 depende do valor de k. Isso significa que o limite pode assumir diferentes valores dependendo do caminho escolhido para aproximar-se de (0,0).

Passo 7

Como o limite depende do caminho seguido para chegar a (0,0), isso indica que o limite geral não existe.

Resposta

O limite não existe.

Exercícios relacionados