Determine a solução do Problema de Valor Inicial d yd t=t+yt-y ; y(1)=0
Escolha uma opção:
y(t)=t^2-12

Passo 1

O enunciado pede para resolver o PVI dydt = t+yt-y,;y(1)=0. O conteúdo é EDO homogênea do 1.º ordem, e vamos precisar usar a substituição típica para equações homogêneas.

Passo 2

Reconhecendo que a função do segundo membro depende só de y/t, fazemos y = t,u(t). Logo dydt = u + tdudt e o ODE vira
u + tdudt = u+11-u

Passo 3

Isolando du/dt e separando variáveis temos
tdudt = 1+u^21-u ; Longrightarrow ; integral 1-u1+u^2,du = integral dtt
Calculando as integrais:
integral 11+u^2du - integral u1+u^2du = arctan(u) - tfrac12ln(1+u^2)
integral dtt = ln|t| + C

Passo 4

Recompondo u=y/t e usando a condição inicial y(1)=0Rightarrow u(1)=0, obtemos o valor de C=0. A solução implícita final é
arctanl(tfracytr) - tfrac12lnl(1 + (y/t)^2r) = ln t
Equivalentemente,
2arctanl(tfracytr) = lnl(t^2 + y^2r)

Passo 5

Para verificar a opção y(t)=tfract^2-12, calcule dy/dt=t e compare com (t+y)/(t-y). Ao simplificar, vê‐se que essa função não satisfaz a igualdade para todo t, então a opção dada está incorreta.

Resposta

A opção y(t)=tfract^2-12 não satisfaz o PVI; a solução do problema é dada implicitamente por 2arctanl(tfracytr)=ln(t^2+y^2)

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