Determine a solução do Problema de Valor Inicial d yd t=t+yt-y ; y(1)=0
Escolha uma opção:
y(t)=t ln |t|-t

Passo 1

O enunciado pede para resolver o Problema de Valor Inicial dydt=t+yt-y com condição y(1)=0. O conteúdo envolvido é de equações diferenciais de primeira ordem homogêneas, em que uma função f(t,y) satisfaz f(lambda t,lambda y)=f(t,y). Para resolver, vamos usar a substituição y=vt, reduzindo a um caso de separação de variáveis.

Passo 2

Reconhecendo que f(t,y)=t+yt-y é homogênea de grau zero, definimos v=y/t, de modo que y=vt. Então
dydt=v + tdvdt

Passo 3

Substituindo na equação original:
v + tdvdt = t + vtt - vt = 1+v1-v

Passo 4

Isolando dv/dt e separando as variáveis:
tdvdt = 1+v1-v - v = 1+v - v(1-v)1-v = 1+v^21-v,
Longrightarrow 1-v1+v^2,dv = dtt

Passo 5

Integramos ambos os lados:
integral 11+v^2,dv - integral v1+v^2,dv = integral dtt,

Passo 6

o que dá
arctan(v) - 12lnl(1+v^2r) = ln|t| + C

Passo 7

Usando a condição inicial y(1)=0 implica v(1)=0, logo
0 - 0 = ln1 + C Longrightarrow C=0

Passo 8

Voltando a v=y/t, obtemos a solução implícita:
arctanl(tfracytr) - 12lnl(1 + l(tfracytr)^2r) = ln t

Resposta

A solução implícita do PVI é
arctanl(tfracytr) - tfrac12lnl(1 + l(tfracytr)^2r) = ln t

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