Um sistema LCIT é descrito por uma equação diferencial linear com coeficientes constantes e possui uma resposta de entrada nula dada por
.
É possível que a equação característica do sistema seja
? Justifique sua resposta.
É possível que a equação característica do sistema seja
Passo 1
O enunciado dá a seguinte informação e faz a seguinte pergunta:
- Informação dada: a resposta de entrada nula do sistema é
. - Pergunta: é possível que a equação característica do sistema seja
? Justificar.
Vou listar o que isso significa em termos práticos (sem resolver ainda): a equação característica proposta é
. Preciso ver quais são as raízes dessa equação e se as funções exponenciais associadas a essas raízes podem gerar uma resposta de entrada nula da forma
.
Passo 2
Simplifico a equação característica proposta. A equação é
Como
é um fator multiplicativo não nulo, ele não altera as raízes da equação; portanto a equação é equivalente a
Fatorando:
Das quais obtemos as raízes
Passo 3
Explicação teórica (didática) sobre resposta de entrada nula e relação com as raízes:
- Em um sistema linear, contínuo e invariante no tempo descrito por uma EDO linear com coeficientes constantes, a resposta de entrada nula
é exatamente a solução geral da equação homogênea associada (solução homogênea). - A forma geral da solução homogênea depende das raízes da equação característica:
- Se
é uma raiz simples real, ela contribui com um termo . - Se
tem multiplicidade , ela contribui com termos .
- Se
- Nas expressões acima,
são constantes determinadas pelas condições iniciais do sistema (por exemplo e para uma EDO de ordem 2).
Passo 4
Aplicando a regra às raízes encontradas:
- As raízes são
e , ambas simples (multiplicidade 1). - Logo a solução homogênea (resposta de entrada nula geral) tem a forma
onde
e
são constantes fixadas pelas condições iniciais.
Passo 5
Comparo a forma geral com a resposta dada:
- A resposta dada é
. - Isto tem exatamente a forma
com e . - Essas constantes são perfeitamente admissíveis: para uma EDO de segunda ordem as constantes são determinadas por, por exemplo,
e . Para ver que existem condições iniciais que produzem esses e , calcule:
Assim, as condições iniciais
e
levariam a
e
. Logo não há nenhuma impossibilidade em obter
a partir das raízes
.
Passo 6
Comentário sobre o fator
:
- O fator multiplicativo
na equação característica não altera as raízes (desde que seja não nulo). Portanto tem exatamente as mesmas raízes de .
Resposta
Sim.