Um sistema LCIT é descrito por uma equação diferencial linear com coeficientes constantes e possui uma resposta de entrada nula dada por y_{0}(t)=2 e^{-t}+3.
É possível que a equação característica do sistema seja \sqrt{3}\left(\lambda^{2}+\lambda\right)=0 ? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado dá a seguinte informação e faz a seguinte pergunta:
  • Informação dada: a resposta de entrada nula do sistema é y_{0}(t)=2 e^{-t}+3.
  • Pergunta: é possível que a equação característica do sistema seja \sqrt{3}\bigl(\lambda^{2}+\lambda\bigr)=0? Justificar.
Vou listar o que isso significa em termos práticos (sem resolver ainda): a equação característica proposta é \sqrt{3}\bigl(\lambda^{2}+\lambda\bigr)=0. Preciso ver quais são as raízes dessa equação e se as funções exponenciais associadas a essas raízes podem gerar uma resposta de entrada nula da forma 2 e^{-t}+3.

Passo 2

Simplifico a equação característica proposta. A equação é
\sqrt{3}\bigl(\lambda^{2}+\lambda\bigr)=0.
Como \sqrt{3} é um fator multiplicativo não nulo, ele não altera as raízes da equação; portanto a equação é equivalente a
\lambda^{2}+\lambda=0.
Fatorando:
\lambda(\lambda+1)=0.
Das quais obtemos as raízes
\lambda_{1}=0,\qquad \lambda_{2}=-1.

Passo 3

Explicação teórica (didática) sobre resposta de entrada nula e relação com as raízes:
  • Em um sistema linear, contínuo e invariante no tempo descrito por uma EDO linear com coeficientes constantes, a resposta de entrada nula y_{0}(t) é exatamente a solução geral da equação homogênea associada (solução homogênea).
  • A forma geral da solução homogênea depende das raízes da equação característica:
    • Se \lambda é uma raiz simples real, ela contribui com um termo C e^{\lambda t}.
    • Se \lambda tem multiplicidade m>1, ela contribui com termos C_{0}e^{\lambda t}, C_{1}t e^{\lambda t},\dots,C_{m-1}t^{m-1}e^{\lambda t}.
  • Nas expressões acima, C, C_{0},C_{1},\dots são constantes determinadas pelas condições iniciais do sistema (por exemplo y(0) e y'(0) para uma EDO de ordem 2).

Passo 4

Aplicando a regra às raízes encontradas:
  • As raízes são \lambda_{1}=0 e \lambda_{2}=-1, ambas simples (multiplicidade 1).
  • Logo a solução homogênea (resposta de entrada nula geral) tem a forma
y_{h}(t)=C_{1}e^{0\cdot t}+C_{2}e^{-t}=C_{1}+C_{2}e^{-t},
onde C_{1} e C_{2} são constantes fixadas pelas condições iniciais.

Passo 5

Comparo a forma geral com a resposta dada:
  • A resposta dada é y_{0}(t)=2e^{-t}+3.
  • Isto tem exatamente a forma C_{1}+C_{2}e^{-t} com C_{1}=3 e C_{2}=2.
  • Essas constantes são perfeitamente admissíveis: para uma EDO de segunda ordem as constantes são determinadas por, por exemplo, y(0) e y'(0). Para ver que existem condições iniciais que produzem esses C_{1} e C_{2}, calcule: y_{0}(0)=C_{1}+C_{2}=3+2=5,
y_{0}'(t)=-C_{2}e^{-t}\quad\Rightarrow\quad y_{0}'(0)=-C_{2}=-2.
Assim, as condições iniciais y(0)=5 e y'(0)=-2 levariam a C_{1}=3 e C_{2}=2. Logo não há nenhuma impossibilidade em obter y_{0}(t)=2e^{-t}+3 a partir das raízes \{0,-1\}.

Passo 6

Comentário sobre o fator \sqrt{3}:
  • O fator multiplicativo \sqrt{3} na equação característica não altera as raízes (desde que seja não nulo). Portanto \sqrt{3}(\lambda^{2}+\lambda)=0 tem exatamente as mesmas raízes de \lambda^{2}+\lambda=0.

Resposta

Sim.

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